2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）高2021级数学（理科）一、选择题（每个小题都有4个选项，其中只有1个正确选项，请把正确选项直接填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共60分.）1.某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（）1234A.B.C.D.5555【答案】B【解析】211【分析】基本事件总数为nC510，A大学恰好被选中的基本事件为：mC1C44，根据古典概型概率公式即可求解.【详解】依题意，2在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：nC510，11A大学恰好被选中的基本事件为：mC1C44，m2所以A大学恰好被选中的概率为：P.n5故选：B.2.设集合UR，集合Mxx1，Nx1x2，则xx2（）A.ðUMNB.NðUMC.ðUMND.MðUN【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x|x2即可.【详解】由题意可得MNx|x2，则ðUMNx|x2，选项A正确；ðUMx|x1，则NðUMx|x1，选项B错误；MNx|1x1，则ðUMNx|x1或x1，选项C错误；第1页/共19页学科网（北京）股份有限公司ðUNx|x1或x2，则MðUNx|x1或x2，选项D错误；故选：A.3.已知复数zxyi（x，yR）对应的点在第一象限，z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，若z4，则双曲线C的焦距为（）A.8B.4C.22D.2【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线C的焦距.【详解】复数zxyi（x，yR）对应的点在第一象限，则x0,y0，又z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，z4，22xy22则双曲线C的焦距为2xy422故选：B4.(x1)(x2)5展开式中x3的系数为（）A.80B.40C.40D.80【答案】C【解析】【分析】应用二项式展开式分类计算即可.55k5kk323232【详解】因为x1x2x1C5x2xC5x2C5x2，k03323232333所以含有x的项为xC5x2C5x280x40x40x，故选：C.(3x1)cosx5.函数f(x)的图像大致为（）3x1A.B.第2页/共19页学科网（北京）股份有限公司C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性判断CD；根据特殊点判断AB.(3x1)cosx(13x)cosx【详解】函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，3x113x即函数f(x)为奇函数，故CD错误；(31)cos31由f()0可知，C错误，A正确；3131故选：A6.将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（）A.152B.180C.216D.312【答案】D【解析】【分析】由题意，分末尾是2或4，末尾是0，即可得出结果.【详解】由题意，末尾是2或4，114不同偶数个数为C2C4A4192，末尾是0，5不同偶数个数为A5120，所以共有312个.故选：D557.设2x1a0a1xa5x，则a1a2a5（）A.351B.35C.25D.251【答案】A【解析】【分析】令x0求出a0，再令x1求出a0a1a5，即可得解.第3页/共19页学科网（北京）股份有限公司55【详解】因为2x1a0a1xa5x，5令x0，可得a011，55令x1，可得a0a1a5213，5所以a1a2a531.故选：A8.执行如图所示的程序框图，若输入的x,yR，则（）A.输出的S的最小值为2，最大值为5B.输出的S的最小值为2，最大值为4C.输出的S的最小值为0，最大值为5D.输出的S的最小值为0，最大值为4【答案】A【解析】【分析】作出可行域，利用线性规划与程序框图判定即可.xy0【详解】作出不等式组xy0表示的可行域，y1由图可知，当直线z3xy过点1,1时，z取得最大值4，当直线z3xy过点(1,1)时，z取得最小值2．第4页/共19页学科网（北京）股份有限公司因为4<5，且x,yR，所以输出的S的最小值为2，最大值为5．故选：A9.某四面体的三视图如图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），该四面体的外接球的表面积为（）A.3πB.4πC.6πD.12π【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原几何体，借助正方体可求外接球的半径，从而得到面积.【详解】由题意可知，几何体是正方体一个角的三棱锥，它的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，323外接球的半径为R，所以外接球的表面积为S4πR4π3π.24故选：A.10.2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）种．A.540B.480C.360D.240【答案】A【解析】【分析】把6名工作人员分别分为(1，1，4)，(2，2，2)，(1，2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．114C6C5C43【详解】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：2A390种，A2第5页/共19页学科网（北京）股份有限公司222C6C4C23把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：3A390种，A31233把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：C6C5C3A3360种，综上，不同的安排方式共有9090360540种，故选：A．11.设fx是定义在R上的偶函数，且当x0时，fx2x，若对任意的xm,m1，不等式fx≥f2xm恒成立，则正数m的取值范围为（）A.m1B.m1C.0m1D.0m1【答案】A【解析】【分析】分析可知fx2x，由已知可得x2xm对任意的xm,m1恒成立，解得x2m对任意的xm,m1恒成立，可得出关于实数m的不等式，解之即可.【详解】因为函数fx是定义在R上的偶函数，且当x0时，fx2x，x则当x0时，x0，fxfx2x，故对任意的xR，fx2，对任意的xm,m1，不等式fx≥f2xm恒成立，即2x22xm，即x2xm对任意的xm,m1恒成立，且m为正数，则x2xm，可得x2m，所以，m12m，可得m1.故选：A.12.如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（）15121211A.,B.,C.,D.,66332362【答案】A第6页/共19页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体ABCDA1B1D1和三棱锥AA1BD，从而可得出答案.【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面A1BD，水最多的临界情况为多面体ABCDA1B1D1，水面为BC1D1，111因为V111，AA1BD326115VVV1111，ABCDA1B1D1ABCDA1B1C1D1CB1C1D13261515所以V，即V,.6666故选：A.二、填空题（请把每个小题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题5分，共20分.）13.已知随机变量N3,22，若23，则D___________.【答案】16【解析】【分析】根据正态分布可得D4，结合方差的性质运算求解.【详解】因为N3,22，则D224，又因为23，所以D22D16.故答案为：16.r14.已知向量a(1,2)，b(m,1)．若向量ab与a垂直，则m________．【答案】7【解析】第7页/共19页学科网（北京）股份有限公司【分析】首先求出ab的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到(ab)a0，根据向量数量积的坐标运算得到方程，即可求得实数m的值．r【详解】解：因为a(1,2)，b(m,1)，所以abm1,3，因为向量ab与a垂直，所以(ab)am1230，解得m7，故答案为：7．x2y215.已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F,F，过F作一条直线与双曲线右支交于a2b2122A,B两点，坐标原点为，若22，则该双曲线的离心率为___________.O|OA|ab,|BF1|5a101【答案】##1022【解析】【分析】由OAOF1OF2得出AF1AF2，由定义结合勾股定理得出ma，再由勾股定理得出离心率.【详解】解：如图，OAOF1OF2c,AF1AF2因为BF15a，则|BF2||BF1|2a3a，设AF2m，则AF1m2a，则ABm3a，222222由勾股定理可得|AF1||AB||BF1|，即m2am3a5a，整理可得m25am6a20，因为m0，解得ma，所以，AF2a，AF13a，222222由勾股定理可得|AF1||AF2||F1F2|，即9aa2c，整理可得2c10a，c10因此，该双曲线的离心率为e.a2第8页/共19页学科网（北京）股份有限公司10故答案为：22116.若函数fx2xalnx1在a,a上单减，则实数a的取值范围为______．1011【答案】,104【解析】1【分析】求出fx的单调减区间，由a,a为减区间的子集求出a的取值范围.10a4x2a【详解】fx4x,x0，xx当a0时，f¢(x)>0，fx在0,为增函数，aa当a0时，由fx0得x(0,]，故fx的单调减区间为(0,]，221a011011因为fx在a,a上单减，所以，解得a,.10a104a211故答案为：,104三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．经常锻炼不经常锻炼总计男35女25总计1001已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为．2第9页/共19页学科网（北京）股份有限公司n(adbc)2附：k,nabcd.(ab)(cd)(ac)(bd)2P(Kk0)0.10.050.010.001k02.7063.8416.63510.828（1）完成上面的列联表；（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．【答案】（1）列联表见解析（2）有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关【解析】【分析】（1）根据概率计算这100名学生中经常锻炼的学生数，进而填写列联表；（2）根据独立性检验求解即可.【小问1详解】x1解：设这100名学生中经常锻炼的学生有x人，则，解得x50．1002列联表完成如下经常锻炼