北师大附属实验中学2023—2024学年度第一学期高三数学月考试卷(2023.10.)班级姓名一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，将正确答案的序号填在答题纸上)1.已知集合A={|xx<−1或x>1},Bx={|0≤2}2.下列函数中，是偶函数且在区间(0，+∞)上单调递增的是1Ay.=−B. yx=+1C. yx=ln(2)D. yx=2x3.等比数列{an}中,a₁=1,公比q=−2,则S₄等于A.15B.-15C.5D.-54.已知实数ab>， c>0，则下列不等式一定成立的是abA. acb−>Ba.cc>bCc.ab>cD.>ccx15.要得到函数y=的图象，只需将函数y=的图象x−1xA.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度a6.若关于x的不等式ax+≥1对于任意x>0恒成立，则a的取值范围是x12Aa.≥Ba.≥221122Ca.≤−或a≥Da.≤−或a≥2222函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下7.f(x)=++ax³bx²cxfx()xx=0xx=1列说法正确的是第1页共10页学科网（北京）股份有限公司A.c>0B.b<0C.函数y=fx'()在区间(0,+∞)上是增函数过点的图象的切线有且只有条D.(x00,fx())1已知数列满足*则集合中元8.{an}a1==+=+∈1,a2nn1,a21n+−a2nna21(nN),{ma|m≤20}素的个数为A.14B.20C.24D.259.已知平面直角坐标系中,角α的终边不在坐标轴上,则“tanαα<x,0xA.存在实数k，使得对任意实数m，函数gx()都有零点B.存在实数m，使得对任意实数k，函数gx()至少有2个零点C.对于任意实数m，存在实数k，使得函数gx()恰有2个零点D.对于任意实数k，存在实数m，使得函数gx()恰有3个零点二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在答题纸上)1−11.函数fx()=−x2+23x++x3的定义域是.212.函数f(x)=xsinx+cosx在点x=π处的切线的斜率为.3用反证法证明命题对任意*，都有时，应首先假设，再推出矛盾，13.“nN∈aann+1>”“”从而说明假设不能成立，原命题为真命题.第2页共10页学科网（北京）股份有限公司1114.定义在 ,8上的函数fx()满足f(43x)=fx(),且当x∈,2时,fx()=log₂x.若22方程fx()=t有四个不相等的实数根，则t的取值范围是；这四个实数根的乘积为.在数列中下列说法正确的是15.{an},ann+1=fa(),.①若fx()=21x+,则{an}一定是递增数列;②若fx()=2,x则{an}一定是递增数列；③若则对任意都存在*使得fx()=x³+1,a₁∈−(1,0),c>0,nN∈,acn>.④若₁且存在常数，使得对任意*，都有则的最大值是f(x)=+=kx²2,a2,cnN∈acn<,k1.4三、解答题(本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)216.已知α是第二象限内的角，tanα=−.2π(Ⅰ)求cos2α−的值；2xx2x1π(Ⅱ)已知函数fx()=sincos−+sin,求fα+的值.222212已知等差数列中₂公差等比数列中₃₁是₂和₃的等差中17.{an},a=3,d≠0;{bn},ba=, b.aa项，b₂是a₁和a₂的等差中项.求数列的通项公式(Ⅰ){an},{bn};求数列的前项和(Ⅱ){}abnn+nSn.记比较与的大小(Ⅲ)cn=abnn⋅,cn+1cn.第3页共10页学科网（北京）股份有限公司ex+118.已知函数fx()=,其中aR∈.ax2++44x(Ⅰ)若a=0,求函数fx()的单调区间和极值;(Ⅱ)当a>1时,讨论函数fx()的单调区间.xy2219.已知椭圆+=1的一个焦点为F(20，)，椭圆与y轴的一个交点的坐标为(0，2)。ab22(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)过点 M(3,0)且斜率为k的直线与椭圆交于 AB,两点(点A在点B左侧),点A关于x轴的对称点为C，求MBC面积的最大值.20.已知函数f(x)=ae−x−bln(1++x)x在x=0处的切线方程为yx=−+43.(Ⅰ)求ab,的值;(Ⅱ)求证: fx()>0恒成立.(参考数据:e0.90≈≈2.46,ee12.72,1.10≈3.00)已知元正整数集合满足：且对任意21. NA={aa12,,,aN}(N≥2)aa12<<<aN,ajij,∈…{1,2,,N},ic₁;n≥2,ccnn+1<18.(15分)ex+1(Ⅰ)解:函数fx()=的定义域为{xx|∈R,且x≠−1}.44x+exxx++11(4+44)−ex+1′4xefx()=22=.(44xx++)(44)令f'(x)=0,得x=0,当x变化时,f(x)和f'(x)的变化情况如下:x(-∞,-1)(-1,0)0(0,+∞)f'(x)--0+f(x)↓↓↑故f(x)的单调减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调增区间为(0,+∞).e当x=0时,函数f(x)有极小值f(0.)=4(Ⅱ)解:因为a>1,所以ax²+4x+4=(x+2)²+(a-1)x²>0,所以函数f(x)的定义域为R，xx++121e(ax+44x+−)e(2ax+4)ex+1x(ax+−42a)求导，得′fx()=22=,(ax22++44x)(ax++44x)第6页共10页学科网（北京）股份有限公司4令f'(x)=0,得xx=0,=2−,12a当a=2时,x₂=x₁=0,2exx+12因为′当且仅当时fx()=2≥0,(x=0,f'(x)=0)(2xx2++44)所以函数f(x)在R单调递增.当12时,x₂>x₁,当x变化时,f(x)和f'(x)的变化情况如下:44故函数f(x)的单调减区间为0,2−,单调增区间为(-∞,0),2,−+∞.aa综上(略).19.(15分)解:(Ⅰ)依题意有(cb=2,=2,可得a²=6,b²=2.xy22故椭圆方程为+=1.62第7页共10页学科网（北京）股份有限公司(Ⅱ)直线l的方程为y=k(x-3),显然k存在.y=kx(−3,)联立方程组xy22+=1.62消去y并整理得(3k²+1)x²-18k²x+27k²-6=0.(*)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).18kk2227−6故x+=x,.xx=1231kk22++1231已知x₁0.33所以△MBC面积S的最大值为.220.(15分)解：已知函数f(x)=ae−x−bln(1++x)x在x=0处的切线方程为y=-4x+3.−b(1)f′(x)=−−+aex1.1+xf′(0)=−−+=−ab14a=3由⇒fa(03)==b=2−−2(II)f(x)=3exx−2ln(1++x)x,x>−−1.f′(x)=3e−+1.1+x2令′则′−x恒成立，gx()=f(x),gx()=+>30e2(1+x)所以gx()=f′(x)在(-1,+∞)上单调递增.第8页共10页学科网（北京）股份有限公司3213e2−93131又ff′(2)=−−+=1−=<0,′(3)=−−+=−1+>0,e233ee223e32e32所以gx()=f′(x)存在唯一的零点x₀,x₀∈(2,3),−2且满足−3ex0−+=10.1+x0当x变化时,f(x)和f'(x)的变化情况如下:−所以=x0−++∈fx()min3e2ln(1x0)xx00,(2,3).−2将①带入上式，得=−+++∈fx()min2ln(1x00)x1,x0(2,3)1+x0−2令t=x₀+1,并构造函数ht()=−2lnt+∈tt,(3,4).t222tt2−22+(t−+11)则有ht′()=−+=1=>0.tt2t22t所以h(t)在(3,4)上单调递增.27所以ht()>h(3)=−−2ln3+≈3−×21.10>0.33即>所以f(x)>0恒成立.fx()min0,21.(15分)解:(Ⅰ){2,3}或{2,4}或{2,3,4}.(4分:正确答案2+1+1,错误答案每个-1)(Ⅱ)证明:由题,分别令i=N,j=1,2,…,N-1,aaa知NN,,,N∈Z,aaaaN−−12NaaNN−−1第9页共10页学科网（北京）股份有限公司即这个小于的数均为的正约数aaaaaaN−−12,N,,NN−−1Ⅳ-1aNaN.因为aN的正约数的个数恰为N个(其中最大的是aN，最小的是1)，而aaaaaNNN>−>−>>−12aaNN−1,所以aaNN−=−11.aajjaj(Ⅲ)证明:由题,,,∈Z,aaaaj−−12jaaji−aajjaj且1.<<<<aaj−−12aajaaji−aajjaj所以≥2,≥3,,≥+i1,aaj−−12aajaaji−ai+1最后一个不等式整理得即jiaji≤+(i1,)