重庆育才中学⻄南⼤学附中⾼2024届拔尖强基联盟⾼三⼗⽉联合考试数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）命题学校：重庆育才中学2023年10⽉注意事项：1．答题前，考⽣先将⾃⼰的地名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使⽤2B铅笔填涂；答⾮选题题时，必须使⽤0.5毫⽶的⿊⾊签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写⽆效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学⽣留存，以备评讲）．⼀．单选题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1.复数（i为虚数单位）复平⾯内对应的点位于（）A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】判断复数在复平⾯上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可.【详解】，所以复数在复平⾯内对应的点为(2,-3)，位于第四象限．故选：D2.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，B，再根据补集和交集的概念即可求解．【详解】由，得，，，，第1⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司故选：A3.已知数列满⾜，若，则（）A.B.C.12D.36【答案】D【解析】【分析】由可知数列是公⽐为的等⽐数列，再由题意结合等⽐数列的通项公式代⼊可求出答案.【详解】由可知数列是公⽐为的等⽐数列，所以，解得：.故选：D.4.已知向量，，若，则（）A.-6B.0C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示列出⽅程求参，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由向量，因为，所以所以．故选:C.5.在中，⻆A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是为直⻆三⻆形的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分⼜不必要条件【答案】D【解析】第2⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司【分析】由，利⽤正弦定理得到，再利⽤三⻆恒等变换得到求解.【详解】解：因为，所以，则，则，化简得，所以或，所以或，所以为直⻆三⻆形（）或等腰三⻆形，所以“”是为直⻆三⻆形的既不充分⼜不必要条件.故选：D6.已知函数在上单调递增，则实数m的最⼤值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性列不等式组解得实数m的取值范围，即可得实数m的最⼤值.【详解】因为，则，所以，⼜函数在上单调递增，所以则，⼜第3⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司故，所以实数m的最⼤值为.故选：A.7.新⻛机的⼯作原理是，从室外吸⼊空⽓，净化后输⼊室内，同时将等体积的室内空⽓排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空⽓中含有颗粒物的质量为m．已知某款新⻛机⼯作时，单位时间内从室外吸⼊的空⽓体积为（v），室内空⽓中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数为过滤效率．若该款新⻛机的过滤效率为，且时室内空⽓中颗粒物的浓度是时的倍，则v的值约为（）（参考数据：，）A.1.3862B.1.7917C.2.1972D.3.5834【答案】B【解析】【分析】由题意表达出，由列出⽅程，求出，两边取对数，计算出答案.【详解】由题意得，，因为，所以，整理得，令，因为，所以，则，解得（舍去）或，故，解得.故选：B8.已知⻆，均在内，，，则⻆的值为（）A.B.C.D.【答案】C第4⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据题意，由同⻆的平⽅关系可得，再由余弦的和差⻆公式，即可得到结果.【详解】因为，且，所以，因为，所以，所以为钝⻆，所以，则，且，则.故选：C⼆．多选题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．在每⼩题给出的四个选项中，有多项是符合题⽬要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于平⾯向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.向量，能作为平⾯内所有向量的⼀组基底B.若点G是的重⼼，则C.若，则或D.若向量，，则向量在向量上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】由基底的概念即可判断A，由三⻆形重⼼的定义即可判断B，由平⾯向量数量积的定义即可判断C，由投影向量的概念即可判断D.【详解】因为向量，，则，即，则不能作为平⾯内基底，故A错误；第5⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司如图所示，连接并延⻓交于点，点为中点，延⻓到点，使得，则，，所以，故B正确；因为，若，则或或，故C错误；因为向量，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确；故选：BD10.设函数，则下列结论正确的是（）A.的最⼩正周期为B.的图象关于直线对称C.的⼀个零点为D.的最⼤值为1【答案】ABD【解析】【分析】根据辅助⻆公式化简函数，再结合三⻆函数图象相关知识逐⼀判断即可.【详解】函数.对于A，的最⼩正周期为，故A正确；对于B，，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，所以不是的⼀个零点，故C错误；对于D，函数，则的最⼤值为1，故D正确.第6⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司故选：ABD.11.以下说法错．误．的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.若在上的值域，则在上的值域也为C.若为R上的奇函数，则也为R上的奇函数D.若是R上的单调递增函数，则是的单调递减函数【答案】AB【解析】【分析】根据函数的概念与性质⼀⼀判定即可.【详解】对于A项，若的定义域为，则要求的定义域，需，故A错误；对于B项，若在上的值域，⽽时，，所以在上的值域为函数在上的值域，不⼀定为，故B错误；对于C项，设，若为R上的奇函数，则，所以，故也为R上的奇函数，C正确；对于D项，由复合函数的单调性可知在定义域上单调递减，⽽是单调递增函数，故是的单调递减函数，即D正确.故选：AB.12.在三⻆形ABC中，点D⾜AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满⾜，直线CD和直线BE交于点F，若，则（）第7⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司A.B.C.的最⼩值为17D.【答案】ABD【解析】【分析】根据平⾯向量的线性运算、共线定理、数量积的运算性质逐项判断即可.【详解】因为，所以，所以，故A正确；⼜因为，则，因为，所以⼜三点共线，所以，整理得，故B正确；由可得，所以，因为，当时，，故的最⼩值不为，故C不正确；由于，所以，则，所以⼜，当且仅当时，等号成⽴第8⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司所以的最⼤值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．13.已知向量，的夹⻆为，且，，则等于______．【答案】1【解析】【分析】根据数量积的定义求解，再根据数量积的应⽤与运算律求解的值即可.【详解】因为向量，的夹⻆为，且，所以，则.故答案为：.14.写出⼀个同时具有下列两个性质的函数：______．①的值域为；②当时，．【答案】【解析】【分析】根据题意，考虑指数型函数，即可得到结果.【详解】由题意可得，函数在上单调递增，且最⼩值为，由指数函数在上单调递增且，将其向上平移2个单位可得，符合题意.故答案为：15.已知等差数列的前n项和为，若，则______．【答案】5【解析】【分析】根据等差数列的性质与前n项和的公式转化求解即可得的值.第9⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司【详解】因为等差数列的前n项和为，且所以，即所以.故答案为：.16.定义：在数列中，其中d为常数，则称数列为“等⽐差”数列．已知“等⽐差”数列中，，，则______；______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据“等⽐差”数列的定义可得，从⽽可得数列，于是可得的关系式，故可得求得与的值.【详解】已知“等⽐差”数列中，，，所以，则则数列是⾸项为，公差为的等差数列，所以，所以，则所以，则且.故答案为：；.四、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数在区间上的图象如图所示．第10⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）由图象可得出函数的最⼩正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式；（2）利⽤三⻆函数图象变换可得出函数的解析式，利⽤正弦型函数的基本性质可求得函数在上的值域.【⼩问1详解】由图象可知，函数的最⼩正周期为，则，所以，，因为，因为，则，所以，，解得，因此，.第11⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问2详解】将的图象向右平移个单位⻓度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，，则，所以，，因此，在上的值域为.18.已知数列的前n项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项积为，当成⽴时，求n的最⼤值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系，利⽤相减法即可求得数列的通项公式；（2）根据数列通项即可得前n项积为，再根据对数不等式与⼀元⼆次不等式即可得不等式解集，从⽽可得n的最⼤值．【⼩问1详解】因为①，当时，②，①②可得：，即当时，，所以，故故数列是⾸项为，公⽐为的等⽐数列，故；第12⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问2详解】数列的前n项积为则不等式为，所以，即解得，所以n的最⼤值为．19.太阳能热⽔器因节能环保⽽深受⼴⼤消费者的⻘睐，但它也有缺点——持续阴天或⾬天便⽆法正常使⽤．为解决这⼀缺陷，现在的太阳能热⽔器⽔箱上都安装了辅助电加热器，如果天⽓不好或冬季⽔温⽆法满⾜需要时，就可以通过辅助电加热器把⽔温升⾼，⽅便⽤户使⽤．某⼯⼚响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热⽔器更换成电辅式太阳能热⽔器．电铺式太阳能热⽔器的耗电情况受当天的⽇照时⻓和⽇均⽓温影响，假设每天的⽇照情况和⽇均⽓温相互独⽴，该电辅式太阳能热⽔器每⽇耗电情况如下表所示：⽇照情况⽇均⽓温不低于15℃⽇均⽓温低于15℃⽇照充⾜耗电0千瓦时耗电5千瓦时⽇照不⾜耗电5千瓦时耗电10千瓦时⽇照严重不⾜耗电15千瓦时耗电20千瓦时根据调查，当地每天⽇照充⾜的概率为，⽇照不⾜的概率为，⽇照严重不⾜的概率为．2023年这⼀年的⽇均⽓温的频率分布直⽅图如图所示，区间分组为，，，，，．（1）求图中a的值，并求⼀年中⽇均⽓温不低于15℃的频率；（2）⽤频率估计概率，已知该⼯⼚原来电热⽔器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热⽔器后，每天能省多少电?【答案】（1），；（2）千瓦时.【解析】第13⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）根据频率分布直⽅图中频率和为1求出区间的频率，再除以组距求得的值，再利⽤⻓⽅形⾯积等于频率，求出不低于15℃的频率；（2）由（1）知⼀年中⽇均⽓温不低于15℃的概率的估计值为，低于15℃的概率的估计值为，分析题意可知，使⽤电辅式太阳能热⽔器⽇均耗电量的可能取值为0，5，10，15，20，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望，即可得到使⽤电辅式太阳能热⽔器⼀天节省的电量.【⼩问1详解】依题意得.⼀年中⽇均⽓温不低于15℃频率为.【⼩问2详解】这⼀年中⽇均⽓温不低于15℃的概率的估计值为，⼀年中⽇均⽓温低于15℃的概率的估计值为，设使⽤电辅式太阳能热⽔器⽇均耗电量为，的所有可能取值为0，5，10，15，20，，，，.所以的分布列为05101520所以的数学期望所以使⽤电辅式太阳能热⽔器⼀天节省的电量为（千瓦时）.20.如图，在中，点在边上，，，.（1）求证：；第14⻚/共19⻚学科⽹（北京）股份有限公司（2）若，求.【答案】（1）证明⻅解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再由锐⻆三⻆函数得到，最后由诱导公式计算可得；（2）设，根据平⾯向量的线性运算得到，再根据数量积的运算律及定义得到⽅程求出，最后由⾯积公式计算可得.【⼩问1详解】在中，，由正弦定理可得，所以，在中，．则，由于，，所以，即．【⼩问2详解】在中，设则，∵，∴，所以，所以，解得或（舍去），∴.第15⻚/共19⻚学科⽹（北