武汉市2024届九所重点中学第一次联考数学试卷武汉市第一中学命制2023.10.14本试卷共4页，22小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合Axx=={|cos0}，Byyy=−−{|8200}2，则AB的元素个数为A．4B．5C．2D．02．与(2,3)−垂直的单位向量是322310151510A．(,)B．(,)C．(,)D．(,)555555553．以下满足|(1)zz|3+的虚数z是5(12i)+22A．−3iB．−C．D．1+2i21i−4．多项式(1)ax+6的x2项系数比x3项系数多35，则其各项系数之和为A．1B．243C．64D．05．在集合{2,3,4,5,6}的所有非空真子集中任选一个，其元素之和为偶数的概率是3718A．B．C．D．515215数学试卷第1页（共4页）{#{QQABaQSQogAoABAAAAgCAwnQCEOQkAECCIoOhBAEoAAAQQFABAA=}#}6．如图，三棱台ABCA−BC111中，BCAC=，现在以下四项中选择一个，可以证明AA11B=B的条件有①CC1A⊥B；②A1111BAC=；③=CCACCB11；④=AACBBC11；A．4个B．3个C．2个D．1个7．抛物线Cy:3x2=的焦点为F，顶点为O，其上两点A，B满足OA⊥OB；过O点作OCAB⊥于C，则CF的取值范围是339393A．(0,3B．,C．,D．,3244442sin80cos208．求值：=14cos+20sin502323A．B．C．1D．322二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．将三角函数h()3xxxxcossincos=−2经如下变换后得到yx=sin的图象：①将图象向右平移个单位；②将图象向左平移个单位；33③将图象向下平移个单位；④将图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍；2以下变换顺序正确的是A．④①③B．④③①①C．②②③④D．③①④10．等比数列{}an和函数fx()满足a1=1，f()n=an，则以下数列也为等比数列的是nA．bfn=(2)B．bf=()C．b=[f(n)]2D．bfn=()2nn2nn11．如图，在平整的地面上任一点O处观测点P处的太阳时，可以将太阳一日的运动轨迹看作一个圆，且这个圆在以O为球心，半径很大的球面上．白天观测到的轨迹是其在地面以上的部分．在点O处立一根杆OA（A也可看作球心），它在地面上形成日影OA'，且PAA,,'三点共线，则白天时点A'在地面上运动的轨迹可能是A．一个抛物线B．一条直线C．一个半椭圆D．双曲线的一支数学试卷第2页（共4页）{#{QQABaQSQogAoABAAAAgCAwnQCEOQkAECCIoOhBAEoAAAQQFABAA=}#}axxx−sin0,6)12．已知fx()=，若它的图象恒在x轴上方，则3(1cos)6,7axx−A．fx()的单调递增区间为(0,6)B．方程fx()m=可能有三个实数根C．若函数在xx=0处的切线经过原点，则xx00=tanD．过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：__________．14．平面直角坐标系中有一直线ly:k(0)xk=，用斜二测画法画出平面的直观图，在直观图中直线l恰为x轴和y轴的角平分线，则k=__________．15．已知矩形ABCD和另一点E，AB=4，AD=9，且DEDC=(0)，连接AE交直线BC于点F，若BEF的面积为6，则=__________．16．一张圆形餐桌前有nn(3)个人，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜．现规定每人只能在相邻两人或餐桌中心的三道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记未被夹取过的菜肴数为Xn，则EX()3=__________，EX()n的通项公式为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）等差数列{}an中，a2=−1，的前n项和为Sn，且SS95=5，（1）求数列{}an的通项公式；2Snn（2）证明：对任意正数k，均存在n(,3)nn+使得成立．ankn+18．（12分）已知函数f(xxxx)369=−−+32，（1）求fx()的极值；（2）作在xx=0处的切线交的图象于另一点(,)xb1，若|xx01−=|6，求l的斜率．19．（12分）数学试卷第3页（共4页）{#{QQABaQSQogAoABAAAAgCAwnQCEOQkAECCIoOhBAEoAAAQQFABAA=}#}ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=；AB边上有一点D（不6与三角形的顶点重合）满足2bcoAsCD=c，（1）求C的取值范围；（2）若CDc=，求A．20．（12分）在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来的发展方向．某市大力推广新能源汽车，成果显著，该市近6年的新能源汽车保有量数据如下表，年份代号x123456保有量y（万辆）11.82.745.99.1（1）记xii==(1,2,3,4,5,6)时对应的汽车保有量为yi，其相较去年的增长量为zi(i2)，分析发现变量z和y有线性关系，试建立变量z和y的回归方程（精确到0.01）；（2）根据（1）问的结果分析：①ycxd=+；②y=+cedxf；③y=+cx2d当中哪一个更适合作为汽车保有量y与年份x的回归方程类型？判断并说明理由．附：对于一组数据(uv,)11，(uv,)22，……，(uv,)nn，其回归直线vabu=+的斜率和n()()uuvvii−−截距的最小二乘估计分别为i=1，．b=navbu=−2()uui−i=121．（12分）空间中的两平行平面与之间的距离为4，边长为2的等边三角形ABC,A111BC分别在平面,中，且它们中心的连线垂直于平面；若AABBCC111==恒成立，（1）证明：AA1,BB1,CC1两两夹角相等；（2）当四面体ACC11A的体积最大时，求（1）问中夹角的余弦值．22．（12分）xy225232双曲线C:−=1(a0,b0)经过点P(,)，且点P到双曲线C两渐近线ab2222的距离之比为4：1，（1）求的方程；（2）过点P作不平行于坐标轴的直线l1交双曲线于另一点Q，作直线ll21交的渐近线于两点A，B（A在第一象限），使AB=PQ，记和直线QB的斜率分别为kk12,，（i）证明：kk12是定值；（ii）若四边形ABQP的面积为5，求kk12−．数学试卷第4页（共4页）{#{QQABaQSQogAoABAAAAgCAwnQCEOQkAECCIoOhBAEoAAAQQFABAA=}#}