高2021级数学(文科)答案1.已知集合,,则( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据一元二次不等式的求解方法,结合集合的交集,可得答案.【详解】由不等式,分解因式可得,解得,则,所以.故选:A.2.已知(i为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】由已知等式求出复数,得到复数,由复数的几何意义得在复平面内对应的点所在象限.【详解】由,得,则,在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B3.抛物线的准线方程是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】先化为标准型,利用抛物线的准线方程可得答案.【详解】因为,所以,所以准线方程为.故选:A.4.已知函数,则( )A. B.2 C. D.3【答案】C【分析】利用分段函数的定义代入求值即可.【详解】由题意可得:.故选:C.5.已知满足约束条件,则目标函数的最小值是( )A.1 B.2 C.11 D.无最小值【答案】A【分析】作出可行域,将目标函数变为,通过平移直线即可求出的最小值.【详解】根据题意,可行域如图所示:将直线平移至刚好经过时,取的最小值:.故选:A.6.下列函数中,既是上的增函数,又是以为周期的偶函数的是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断作答.【详解】显然函数、都是奇函数,AC不是;当时,,而函数在上单调递减,函数在上单调递减,B不是;函数是周期为的偶函数,当时,,为原函数,即在上递增,D是.故选:D7.定义在R上的奇函数满足是偶函数,当时,,则( )A. B. C.0 D.2【答案】C【分析】根据题意,由函数奇偶性的性质分析可得,进而可得,即函数是周期为4的周期函数,从而利用周期性即可求解.【详解】根据题意,函数是定义在上的奇函数,则,且,又函数是偶函数,则,变形可得,则有,进而可得,所以函数是周期为4的周期函数,则.故选:C.8.用半径为10cm,圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的体积为( )A. B.128 C. D.96【答案】C【分析】根据题意确定圆锥的母线长,根据扇形的弧长求出圆锥的底面半径和高,根据圆锥体积公式即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为R,由题意可知圆锥母线长为,由题意可得,故圆锥的高为,故圆锥的体积为,故选:C9.下列说法正确的有( )①对于分类变量与,它们的随机变量的观测值越大,说明“与有关系”的把握越大;②我校高一、高二、高三共有学生人,其中高三有人.为调查需要,用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为的样本,那么应从高三年级抽取人;③若数据、、、的方差为,则另一组数据、、、的方差为;④把六进制数转换成十进制数为:.A.①④ B.①② C.③④ D.①③【答案】A【分析】利用独立性检验可判断①;利用分层抽样可判断②;利用方差公式可判断③;利用进位制之间的转化可判断④.【详解】对于①,对于分类变量与,它们的随机变量的观测值越大,说明“与有关系”的把握越大,①对;对于②,由分层抽样可知,应从高三年级抽取的人数为,②错;对于③,记,则,所以,数据、、、的平均数为,其方差为,③错;对于④,把六进制数转换成十进制数为:,④对.故选:A.10.已知函数的部分图象如图所示,若将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,则( ) A. B.C. D.【答案】C【分析】利用函数图象可求出的解析式为,再根据平移规则可得.【详解】由图象可知,,解得;由振幅可知;将代入可得,又,即可得,因此,易知,故选:C.11.人们用分贝来划分声音的等级,声音的等级(单位:)与声音强度(单位:)满足.一般两人小声交谈时,声音的等级约为,在有50人的课堂上讲课时,老师声音的等级约为,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的( )A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1000倍【答案】C【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系,求出声音等级即可比较得解.【详解】∵声音的等级式(单位:)与声音强度(单位:)满足,又∵老师的声音的等级约为63dB,,解得,即老师的声音强度约为,∵两人交谈时的声音等级大约为,,解得,即两人交谈时的声音强度约为,老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.故选:C12.函数的定义域为,当时,且,若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】将在上的图象每次向右平移2个单位,且纵坐标变为原来的一半,得到在上的图象,根据的图象与有四个不同的交点,得到的取值范围.【详解】先作出在上的图象,根据可知在上的图象为在上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到,同理得到上的图象,如图: 函数有四个不同的零点可看作与有四个不同的交点,由图可知,故.故选:A.13.已知等差数列的前n项和为,若,则.【答案】35【分析】根据等差数列的前n项和公式,及等差数列的性质求解即可.【详解】解:等差数列的前n项和为,,,故答案为:35.14.已知,,则.【答案】【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出,然后根据二倍角公式即可得出结果.【详解】因为,,所以,,则,故答案为:.15.如图,若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分,且,则该双曲线的渐近线方程为.【答案】【分析】根据圆的性质,结合代入法、双曲线渐近线方程进行求解即可.【详解】设双曲线的标准方程为,设圆与双曲线在第一象限内的交点为,连接、,则,因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分,则,故点,将点的坐标代入双曲线的方程可得,所以,所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为:16.设函数,有下列结论:①的图象关于点中心对称; ②的图象关于直线对称;③在上单调递减; ④在上最小值为,其中所有正确的结论是.【答案】②③【分析】整理化简解析式可得,根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可.【详解】,当时,,则的图象关于点中心对称,故①错误;当时,,则的图象关于直线对称,故②正确;由,得,当即时,函数单调递减,则当时,函数单调递减,故③正确;当时,,可知函数在上单调递增,∴的最小值为,故④错误.故答案为:②③.17.最近,纪录片《美国工厂》引起中美观众热议,大家都认识到,大力发展制造业,是国家强盛的基础,而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍,中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名,35周岁以下工人200名,为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“35周岁以下组”工人的概率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?生产能手非生产能手合计35岁以下35岁以上合计附表:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1);(2)列联表见解析,有把握.【分析】(1)分别计算样本中日平均生产件数不足60件的工人中35周岁以上组工人个数与35周岁以下组工人个数,并分别做好标记,然后利用列举法以及古典概型计算方法可得结果.(2)分别计算“35周岁以上组”与“35周岁以下组”中的生产能手个数,然后列出表格,并依据公式计算,可得结果.【详解】(1)由已知得,样本中有35周岁以上组工人60名,35周岁以下组工人40名,所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,35周岁以上组工人有(人),记为;35周岁以下组工人有(人),记为从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种:至少有一名“35周岁以下组”工人的可能结果共有7种:.故所求的概率: (2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“35周岁以上组”中的生产能手(人),“35周岁以下组”中的生产能手(人),据此可得列联表如下:生产能手非生产能手合计35岁以下10304035岁以上303060合计4060100所以得:所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,审清题意,同时识记公式,简单计算,属基础题.18.已知向量,函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)在中,分别是角的对边,且,,求的周长.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用向量数量积的坐标表示,二倍角公式、辅助角公式求出并化简,再利用正弦函数单调性求解作答.(2)由(1)求出,再利用余弦定理求解作答.【详解】(1)依题意,,由得:,所以函数的单调递增区间是.(2)由(1)知,,即,而,则,于是,解得,由余弦定理有,即,解得,所以的周长为.19.如图,在四棱锥中,平面平面,底面为菱形,为等边三角形,且,,为的中点. (1)若为线段上动点,证明:;(2)求点与平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)因为线段上动点,明显要证明平面,利用线面垂直判定定理,分别证明,即可;(2)利用等体积变换求距离即得.【详解】(1) 连接,.∵为等边三角形,,,,又平面平面,平面平面,平面,平面,又平面,,,,,又,平面,平面,,平面又平面,(2)由(1)知平面平面,∴.由题意,∴,,∴中,,∴中,,∴中,由余弦定理得,设点到平面的距离为,则即,,得,故点与平面的距离为20.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过的直线与交于,两点,的周长为8,且点在上.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与圆:交于C,D两点,当时,求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)由的周长结合椭圆的定义得出,再将代入椭圆方程,即可求出,进而得出椭圆的方程;(2)设直线l的方程为,由点到之间距离公式及勾股定理得出,设,,由直线方程与椭圆方程联立,得出和,代入,设,,由的单调性得出值域,即可求出的范围.【详解】(1)因为的周长为8,所以,解得,将点的坐标代入椭圆方程,得,解得,所以椭圆E的方程为. (2)由(1)知圆的方程为,设直线l的方程为,则圆心到直线l的距离,由,可得.设,,联立方程组,消去x得,则,,所以,设,则,设,易知在上单调递增,则在上单调递增,因为,所以. 21.已知函数,.(1)当时,求函数在点处的切线方程;(2)若函数有两个零点,,求实数的取值范围;(3)在(2)的条件下,证明:.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】(1)根据导数的几何意义,即可求解;(2)首先判断函数的单调性,以及极值,根据函数的零点个数判断,再通过构造函数,根据函数的单调性,以及零点,求解不等式的解集;(3)根据函数的单调性,转化为证明,再构造函数,利用导数判断函数的单调性,即可证明.【详解】(1)当时,,,,,所以函数在点处的切线方程为,即;(2)函数的定义域为,,当时,恒成立,单调递增,所以不可能有2个零点;当时,当时,,单调递增,当时,,单调递减,当时,,当时,,所以要满足函数有2个零点,只需,即,整理得,设,函数的定义域为,,所以在定义域上单调递增,且,则不等式的解集为,所以的取值范围为;(3)证明:由(2)知,,则,要证明,即证明,不妨设,因为,所以,又,函数在上单调递增,此时需证明,当,时,可得,因为,即证明,设,函数的定义域为,,所以在单调递增,则,,所以,又在上单调递增,所以,即,命题得证.【点睛】关键点睛:本题考查导数研究函数的性质,不等式,双变量,零点偏移问题,本题第三问的关键是利用分析法转
四川省成都市列五中学2024届高三上学期10月月考文科数学答案
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