昆明一中2024届高三第4次联考数学参考答案命题、审题组教师杨昆华彭力李文清李春宣丁茵王在方张远雄李露陈泳序杨耕耘一、选择题题号12345678答案CBDCCBAA1．解析：因为，则其在复平面内所对应的点为，其位于第三象限，选C．2．解析：由题，知只有一个实数根．当时，，此时；当时，令，有，，此时．综上或，选B．3．解析：因为直线的斜率为，所以，所以，选D．4．解析：由题意可知，该香料收纳罐的容积为．选C．5．解析：因为，所以，所以数学成绩在分以上的人数约为人，选C．6．解析：由题，有亚历山大城到赛伊尼走视距段，设地球大圆周长的视距段为，所以，得个视距段，则地球的周长为米千米，选B．7．解析：，且，，则，选A.8．解析：由于，令，则在上单调递增，且为奇函数，所以关于点中心对称，且在上单调递增，即，由可得，则，得，选A.二、多选题题号9101112答案ADADBCACD9．解析：由QUOTE10×2????+3????+7????+6????+2????=1，可得QUOTE????=0.005，故A正确；前三个矩形的面积和为QUOTE10×2????+3????+7????=0.6，所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误；由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C错误；总体中成绩落在QUOTE[60,70)内的学生人数为QUOTE3????×10×1000=150，故D正确，选AD．10．解析：由A选项可知，平面，平面，所以平面，A正确.对于B，如图1，设是的中点，结合正方体的性质可知，，，，所以，，，，共面，B错误.对于C，如图2，根据正方体的性质可知，由于平面，所以C错误.对于D，如图3，设，由于四边形是矩形，所以是中点，由于是中点，所以，由于平面，平面，所以平面，D正确.选AD.图1图2图311．解析：因为直线分别与轴，轴交于，两点，所以，，则；又因为点在曲线：上，所以点在半圆上；圆心到直线的距离为，点到直线的距离为，所以点到直线的距离的范围是，所以△的面积范围是，所以BC正确，选BC．12．解析：A选项，中，令得，令得，A正确；B选项，中，令得，所以，，，，相加得，因为数列的前项和为，所以前项和中奇数项之和为，中，令得，所以，故，解得，B错误；C选项，由B选项可知，的前项中的共有偶数项项，故最后两项之和为，所以数列的前项中的所有偶数项之和为，C正确；D选项，由B选项可知，令，则，故故当是奇数时，，D正确.选ACD.三、填空题13．解析：因为，所以，．14．解析：由题意，，得，所以．15．解析：因为，所以，所以，因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为，所以．16．解析：令，因为是定义在上的奇函数，所以为偶函数，当时，，，，则在上单调增，可化为，即得，当，，则，即，又在上单调减，得，所以解集为．四、解答题17．解：（1）记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“”，则.………5分（2）设事件分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，根据题意可知.故.，，.所以于的分布列为：的数学期望.………10分18．解：（1）由及正弦定理得：，由余弦定理得：，又因为，所以，………5分（2）因为的外接圆半径，所以所以，所以，又因为,所以，所以，所以，即的取值范围是．………12分19．解：（1）由已知，，当时，，所以，当时，，所以，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.………6分（2）由已知得：，设数列的最大项为，则：，即：，解得：，所以，所以最大时，的值为或.………12分20．解：（1）如图延长交于，连接交于，因为为棱的中点，∥，且，所以是的中点，因为∥，所以∽，所以.………6分（2）由题知平面，则，因为∥，且，所以，所以平面ACA1C1，所以，如图所示，以为原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，所以，，，，，设，，因为最短，所以，所以，解得，所以，则，设平面的法向量，则，即，所以，所以点到平面的距离.………12分21．解：（1）由题意知，，，所以………4分（2）由（1）可知，曲线设，由题意知联立得所以由，，三点共线知①，由，，三点共线知②，由①②两式得③.又因为即代入③式得即整理得即化简得当时，，直线过定点，不符合题意，舍去.当时，，直线过定点………12分22．解：（1）的定义域为，，i.若，则当时，，，故，当时，，，故，当时，，，故，此时在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减；ii.若，，此时在内单调递减；iii.若，则当时，，，故，当时，，，故，当时，，，故，此时在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减；………6分证明（2）：当，时，，又，且，即，由（1）可知在内单调递减，故在区间内有且仅有一个零点，又，则，在内单调递增，在内单调递减，故对任意，，故函数在区间内没有零点，综上可得，只有一个零点．………12分