树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(理科)试题10．一个盒子中装有a个黑球和b个白球(a，b均为不小于2的正整数)，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，命题人：宁夏校区高三数学备课组审题人：王钊唐颖君朱琨A1A2B1B2则一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目(    )abbb-1要求的.A.PA1B2=2B.PA2B1=⋅a+ba+ba+b-11．集合A=1,2,3，B=4,5，M=xx=a+b,a∈A,b∈B,则集合M的元素个数为()C.PB1A1)+P(B2A1<1D.PB2A1)+P(B1A2>1A.7B.6C.5D.42y222x2．如果复数m-3m+m-5m+6i是纯虚数，则实数m的值为(    )11．如图，双曲线E：-=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与其右支交于P，a2b2A.0B.2C.0或3D.2或3Q两点，已知PF1=2PF2且∠PF1F2=∠F1QP，则双曲线E的离心率为(    )3．已知直线l1:x-3y+2=0,l2:3x-ay-1=0，若l1⊥l2，则实数a的值为(    )A.3B.211A.1B.C.-D.-1C.3D.2224．已知平面α，β，γ，直线a，b，c，下列说法正确的是(    )A.若a⎳α，b⎳β，a⎳b，则α⎳βB.若a⊥α，α⊥β，则a⎳βC.若a⊥α，b⎳β，α⎳β，则a⊥bD.若α∩γ=a，β∩γ=b，a⎳b，则α⎳β312．已知函数fx=(x-3)+2x-6，且f2a-b+f6-b>0a,b∈R，则(    )5．向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，ab1120242024A.sina>sinbB.e>eC.>D.a>b若e为与c同方向的单位向量，则a+b⋅e=(    )abA.1.5B.2二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)2x-12C.-4.5D.-313．设命题p:<0，命题q:x-2a+1x+aa+1≤0，若p是q的充分不必要条件，x-1则实数a的取值范围是_________S3226．已知等比数列an各项均为正数，3a2+2a3=a4，an的前n项和为Sn，则=(    )14．过点(2,2)的直线l被圆C：x+(y+1)=16所截得的弦长为整数，a2137则满足条件的直线l有条.A.3B.C.D.133223415．已知多项式f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x满足对任意θ∈R,f(cosθ)=2cos4θ+cos3θ，ππ7．要得到函数fx=sin2x+的图象，可以将函数gx=sin2x+的图象(    )则a1-a2+a3-a4=(用数字作答)．312ππA.向左平移个单位B.向左平移个单位a4816．若曲线y=x>0与曲线y=2lnx存在公切线，则实数a的取值范围为．ππxC.向右平移个单位D.向右平移个单位48三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每题满分12分，8．设函数fx的定义域为R，且f2x+2是奇函数，fx+1是偶函数，则一定有(    )每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，每题满分10分，考生根据要求作答．A.f-1=0B.f3=0C.f4=0D.f5=0(一)必考题：共60分.17．已知等差数列an满足a2=3,S5=25.2b9．阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)为有理数，则存在无理数a=b=2，使得a为有理数；(1)求数列an的通项公式；若2为无理数，则取无理数2，，此时b222⋅22为有理1(2)a=(2)b=2a=(2)=(2)=(2)=2(2)设bn=,Tn为数列bn的前n项和，求Tn.a+a数．”依据这段文字可以证明的结论是(    )n+1nA.(2)2是有理数B.(2)2是无理数C.存在无理数a，b，使得ab为有理数D.对任意无理数a，b，都有ab为无理数高三数学(理科)2023-10阶考第1页共2页22218．如图，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，FA=FC.20．已知抛物线C1:y=x，圆C2:x-4+y=1．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(1)求圆心C2到抛物线C1准线的距离；(2)求二面角A-FC-B的余弦值.(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A、B两点，若直5线PC的斜率为k，直线AB的斜率为k，k·k=-，求点P的坐标．212122419．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程21．已知函数fx=ex-kx2，k>0．中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下若，求函数的极值点的个数；去，直至成功．(1)k=2fx是否存在正实数使函数的极值为2，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为(2)k,fx2ekk随机变量X，求X的分布列和数学期望；1(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时2抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.t12345x=-1+2t22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2(t为参数)，2y23298604020y=1+2t圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.b求y关于t的回归方程y=+a，并预测成功的总人数(精确到1)；t(1)求直线l及圆C的极坐标方程；n(2)若直线l与圆C交于A,B两点，求cos∠AOB的值.xiyi-nx⋅yi=1附：经验回归方程系数：b=n，a=y-bx；22xi-nxi=1552211参考数据：xi=1.46，x=0.46，x=0.212(其中xi=，x=xi)．23．已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.ti5i=1i=1(1)解不等式f(x)≤x+1；a2b2(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c，求证：+≥1.a+1b+1高三数学(理科)2023-10阶考第1页共2页2树德中学高2021级高三上学期10月阶段性测试数学(理科)试题参考答案由题知，的取值可能为，，所以11；19.(1)X123PX=1=1=C24题号1234567891011121212112122答案DADCDBBCCDBBPX=2=1-=；PX=3=1-1-=；C1C112C1C1312232313.0,14.915.116.-,0.2e所以X的分布列为：17.(1)因为数列an为等差数列，设公差为d，X1235(a+a)a+2d=5则S=15=5a=25，所以a=5，又a=3，所以1，解得a=1，d=2.11253321P2a1+d=34123则a=1+2n-1=2n-1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分n1123+2+24291所以数学期望为EX=1×+2×+3×==.⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)由(1)知，bn=.412312122n+1+2n-1512n+1-2n-11(2)令xi=，则y=bx+a，由题知：xiyi=315，y=90，所以bn==(2n+1-2n-1)tii=1(2n+1+2n-1)(2n+1-2n-1)2511T=(3-1+5-3+⋯+2n+1-2n-1)=(2n+1-1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分xiyi-5x⋅yni=1315-5×0.46×9010822所以b====270，51.46-5×0.2120.418.(1)证明：设AC交BD于点O，连接FO，22xi-5x∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，O为AC中点，i=1270又，，又，所以a=90-270×0.46=-34.2，y=270x-34.2，故所求的回归方程为：y=-34.2，∵FA=FC∴AC⊥FOFO∩BD=OtFO⊂平面BDEF，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分所以，估计t=6时，y≈11；估计t=7时，y≈4；估计t≥8时，y<0；(2)解：如图，连接DF，∵四边形BDEF为菱形，∠DBF=60°，预测成功的总人数为450+11+4=465.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分∴△DBF为等边三角形，又∵O为BD中点，∴FO⊥BD，又AC⊥FO，AC∩BD=O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，120.(1)由已知：C2(4,0)；C1的准线为x=-．∴FO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，4117设AB=2，则BD=2，AC=23，又∴△DBF为等边三角形，圆心C到C准线距离为4--=;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2144∴OF=3，∴点O0,0,0，A3,0,0，B0,1,0，C-3,0,0，F0,0,3，设2，2，2切线2(2)Py0,y0Ay1,y1By2,y2,PA:x-y0=m1y-y0∴CF=3,0,3，CB=3,1,0，2x=m1y+y0-m1y022由2得：y-m1y-y0+m1y0=0设平面BCF的一个法量n=x,y,z，y=x由得：，CF⋅n=3x+3z=0y0+y1=m1y1=m1-y0则，切线2同理可得：CB⋅n=3x+y=0PB:x-y0=m2y-y0,y2=m2-y0224-y0+m1y0令x=1，得n=1,-3,-1，依题意：C2(4,0)到PA:x-m1y-y0+m1y0=0距离=1m2+1平面，平面，1∵FO⊥ABCDBD⊂ABCD22342整理得：y-1m+8y-2ym+y-8y+15=0所以FO⊥BD，0100100同理：y2-1m2+8y-2y3m+y4-8y2+15=0又因为AC⊥BD，AC∩FO=O，02002002y3-8y所以BD⊥平面AFC，002∴m1+m2=2y0≠1y0-1则OB=0,1,0即为平面AFC的一个法向量，2y0y1-y211y0-1∵k=，k====n⋅OB1512222∴cosn,OB==-，y0-4y1-y2y1+y2m1+m2-2y0-6y05nOByy2-1005解得：∴k1k2=2⋅=-,y0=±4又二面角A-FC-B的平面角是锐角，y0-4-6y02415故所求点坐标为或分∴二面角A-FC-B的余弦值为.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分P16,416,-4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯125高三数学(理科)2023-10阶考第1页共2页x221.(1)当k=2时，f(x)=e-2x，2x=-1+2tx2xxxx22.(1)由直线l的参数方程，得其普通方程为y=x+2，f(x)=e⋅x+e-2⋅2x=xxe+2e-4=x(x+