2024届高三第一次质量监测数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式再结合交集以及区间的概念即可求解.【详解】一方面把不等式变形为，解得；另一方面若，则；结合交集以及区间的概念可知.故选：A.2若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】分析】由求出复数，从而可求出【详解】由，得，，所以，故选：B3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过不等式性质分别求解出与的范围，从而再进行判断.【详解】由，可得或，即或，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.下列可能是函数的图象的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D，故选：C.5.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，结合对数函数的性质，以及复合函数单调性的求解方法，根据题意，得出满足在区间单调递减且，即可求解.【详解】设，可得的对称轴的方程为，由函数在上单调递减，则满足在区间单调递减且，即且，解得，即实数的取值范围是.故选：D.6.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（）A.360 B.480 C.600 D.720【答案】B【解析】【分析】先求得六人的全排列数，结合题意，利用定序排列的方法，即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法，其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种.故选：B.7.已知正方体的棱长为2，则以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等体积法可求出点到平面的距离，根据交线为圆可求出其长度.【详解】设点到平面的距离为，因为，所以，因为正方体的棱长为2，所以等边的边长为，所以，所以，解得，所以点为球心，为半径球面与平面的交线是以为半径的圆，所以交线长为，故选：C8.对，当时，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将不等式等价变形，再构造函数，，再结合函数的单调性、最值即可求解．【详解】由，当时，则等价于，即等价于，即等价于，即等价于，令，，即等价于对，当时，，即函数在上单调递减，即对，，即，由，则，所以，所以实数的取值范围是．故选：D．【点睛】关键点点睛：将题目中的不等式条件等价转化为，再构造函数是解答本题的关键．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则（）A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600B.这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差C.这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D.这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030【答案】AB【解析】【分析】对于A：直接求出中位数；对于B：分别计算出甲、乙日步数的极差，即可判断；对于C：分别计算出甲、乙方差，即可判断；对于D：将乙的日步数从小到大排列，计算可得；【详解】对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800,中位数是11600.故A正确；对于B：这一星期内甲的日步数的极差,这一星期内乙的日步数的极差,这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差,故B正确；对于C：由图知甲的波动程度越大，故方差大故C错误；乙的步数从小到大排列为：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，，故这一星期内乙的日步数上四分位数是12970，故D错误.故选：AB.10.已知事件A，B，且，则（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A与B相互独立，那么D.如果A与B相互独立，那么【答案】ABD【解析】【分析】根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、.【详解】A：由，则，正确；B：由，则，正确；C：如果A与B相互独立，则，，错误；D：由C分析及事件关系知：，正确.故选：ABD.11.已知函数的定义域为，且，函数的图像关于点对称，，则（）A.是偶函数 B.的图像关于直线对称C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先根据的图像关于点对称，得出是奇函数，从而判断A项；由利用赋值法求出，再结合是奇函数可判断B项；利用结合可判断C项；求出的周期可判断D项.【详解】因为函数的图像关于点对称，所以的图像关于原点对称，即是奇函数，故A错误；因为，所以令得，又因为是奇函数，所以，所以，即，所以的图像关于直线对称，故B正确；因为，，是奇函数，所以，故C正确；因为，所以的周期为8，又，，所以，故D正确；故选：BCD.12.已知，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先利用指数与对数互化求出，然后利用对数的运算性质及基本不等式逐项判断即可.【详解】因为，所以，，因为，所以，即，故A正确；因为，，所以，故B正确；因为，故C错误；因为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式的展开式中，常数项是______．【答案】##【解析】【分析】根据二项展开式的公式可知，进而可得常数项.【详解】其展开式第项为，当，即时，展开式第项为常数项，此时，故答案为：14.已知同一平面内的单位向量，满足，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意得，两边平方得到，从而求出.【详解】因为，所以，两边平方得，因为均是单位向量，所以，所以，所以，所以.故答案为：.15.已知随机变量，，且，，则______.【答案】【解析】【分析】根据二项分布和正态分布的期望公式可得，再由可得，求解即可.【详解】由题意，，，，又，故，即，解得：.故答案为：16.已知直线与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线的方程：______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】设出切点，利用切点求出切线方程，联立方程求出切点处的值，代入求出切线方程.【详解】因为，，所以，，设直线与曲线和分别切于点，，所以切线方程分别为，，即，，因此，则，又，所以，化简得，解得或，当时，切线方程为，当时，切线方程为.故答案为：，.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.市场监管部门统计了某网红饮品小店在2023年4月至8月的销售收入（单位：万元），得到以下数据：月份45678销售收入1012111220（1）根据表中所给数据，求出关于的线性回归方程，并估计2023年9月份该小店的销售收入；（2）为调查顾客对该小店的评价情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．喜欢不喜欢总计男100女30总计110附：线性回归方程：，其中，，0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1），估计为19万元（2）列联表见解析，有【解析】【分析】（1）根据题中数据及公式求出，可得线性回归方程，将代入可估计2023年9月份该小店的销售收入；（2）由已知写出列联表，根据公式求的值，结合独立检验的基本思想得到结论．【小问1详解】由已知得：，，，，则关于的线性回归方程为，当时，，∴估计2023年9月份该小店的销售收入19万元．【小问2详解】因为200名顾客中男顾客有100名，则女顾客有100名，女顾客中不喜欢该网红饮品小店有30名，则喜欢的有70名，200名顾客中喜欢该网红饮品小店的有110名，则男顾客中喜欢的有40名，不喜欢的有60名，则2×2列联表如下所示：喜欢不喜欢总计男4060100女7030100总计11090200根据列联表中数据，，所以有的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．18.设为实数，函数，.（1）求的极值；（2）对于，，都有，试求实数的取值范围.【答案】（1）极大值，极小值（2）【解析】【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.【小问2详解】解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.19.如图，直三棱柱中，，平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过点作，根据题意证得平面，得到，再由三棱柱为直三棱柱，证得，利用下面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.小问1详解】如图所示，过点作于点，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以，由三棱柱为直三棱柱，可得平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，则,设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，则，设二面角的平面角为为锐角，可得，所以，即二面角的正弦值为.20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和；丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为和，其中，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．（1）试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望．【答案】（1），即进入决赛的可能性甲丙乙.（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）根据题意求出甲、乙、丙三人初赛的两轮中均获胜的概率并比较大小即可；（2）根据题意先求出与所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列，并计算出期望即可求解.【小问1详解】甲在初赛的两轮中均获胜的概率为，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为，因为，