2023-2024学年第一学期高三年级第一次月度检测数学试卷（命题：审题：时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则等于（    ）A． B． C． D．【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题【答案】A【分析】先化简得出集合，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】由可得，则，，所以.故选：A.2．已知是虚数单位，，复数为纯虚数，则的模等于（   ）A． B． C． D．【来源】【区级联考】天津市河东区2019届高三一模数学（理）试题【答案】B【分析】先根据复数乘法运算法则计算，再根据纯虚数概念得，最后根据复数模的定义得结果.【详解】因为为纯虚数，所以，从而，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3．的展开式中项的系数是（    ）A． B． C． D．【来源】江苏省镇江第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题【答案】A【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出项的系数作答.【详解】二项式展开式的通项公式为：，令，解得，于是，所以所求系数为.故选：A4．下列化简不正确的是（    ）A． B．C． D．【来源】高一数学下学期期末模拟试卷02-【题型分类归纳】（苏教版2019必修第二册）【答案】B【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A选项，，C选项正确.B选项，，B选项错误.故选：BC选项，，所以A选项正确.D选项，，D选项正确.5．用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（    ）A． B． C．70 D．35【来源】第9章：统计重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第二册）【答案】B【分析】根据回归直线方程必过样本中心点，再结合题意以及对数的运算计算即可.【详解】因为，所以，则，即，即，所以.故选：B.6．一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（    ）A．0 B．1 C．3 D．4【来源】第5章三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（2）【答案】C【分析】根据题意设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，写出函数解析式，计算f（t）+f（t+1）+f（t+2）的值．【详解】根据题意，设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），则A＝2，k＝1，因为T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因为t＝0时，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因为φ＜0，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（1）=31，f（2）＝0，所以f（0）+f（1）+f（2）＝3．故选：C．7．已知，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【来源】2023届普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（一）【答案】A【分析】依据重要不等式去求解的最大值【详解】∵，（当且仅当时等号成立），故选：A.8.已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】令，则，故当时，，是增函数，当时，，是减函数，可得处取得最小值，，，画出的图象，由可化为，故结合题意可知，有两个不同的根，故，故或，不妨设方程的两个根分别为，，①若，，与相矛盾，故不成立；②若，则方程的两个根，一正一负；不妨设，结合的性质可得，，，，故又，，．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知向量，满足且，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【来源】安徽省舒城中学2023届仿真模拟卷（二）数学试题【答案】AD【分析】先对条件进行化简得到，再结合选项逐个判定可得答案.【详解】因为，所以；因为，所以，所以，故C错误，D正确；因为，所以，A正确；因为，所以，B错误；故选：AD.10．给出以下四个结论：①函数与的图象只有一个交点；②函数与的图象有无数个交点；③函数与的图象有三个交点；④函数与的图象只有一个交点.则正确结论的序号为（    ）A．① B．② C．③ D．④【来源】山东省日照市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】ABD【分析】①：在同一坐标系内作出函数与的图象，看两图象交点个数进行判断；②：在同一坐标系内作出函数与的图象，看两图象交点个数进行判断；③：在同一坐标系内作出函数与的图象，看两图象交点个数进行判断；④：解方程进行判断即可.【详解】①：在同一坐标系内作出函数与的图象，如下图所示：由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故本结论正确；②：在同一坐标系内作出函数与的图象，如下图所示：由图象可知：在时，两个函数图象有2个交点，但是函数是最小正周期为的周期函数，故当时，有无数个交点，故本结论正确；③：在同一坐标系内作出函数与的图象，如下图所示：即函数与的图象只有一个交点，故本结论错误；④：，因此函数与的图象只有一个交点，故本结论正确.故选：ABD【点睛】本题考查了两个函数图象的交点问题，考查了数形结合思想、直接法，属于中档题.11．下列关于随机变量X的说法正确的是（    ）A．若X服从正态分布，则B．已知随机变量X服从二项分布，且，随机变量Y服从正态分布，若，则C．若X服从超几何分布，则期望D．若X服从二项分布，则方差【来源】江苏省郑梁梅高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题【答案】BCD【分析】根据正态分布的性质、超几何分布的期望公式、二项分布方差的运算公式，结合方差的性质逐一判断即可.【详解】对A，由于，所以，根据方差的性质，，故A错误；对B，服从二项分布，，解得，，根据正态分布的对称性可得，，故B正确；对C，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，，故C正确；对D，服从二项分布，根据二项分布方差公式得，，故D正确.故选：BCD.12．设函数，，下列命题正确的是（    ）A．若函数有两个零点，则，B．若恒成立，则C．若，，时，总有恒成立等价于D．，恒成立．【来源】重庆市永川北山中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题【答案】AC【分析】利用导数求函数的最大值，结合变化趋势考察与的关系可判断AB；构造函数，将问题转化为导数在大于等于0恒成立问题，然后利用导数求其最值可判断C；取，然后使用放缩法可判断D.【详解】，当时，，当时，，故时，有最大值，又时，,且越大时，趋近于0，要使函数有两个零点，则，故A正确，B错误；若，，时，总有恒成立等价于函数在上单调递增，等价于在区间上恒成立，令，则，当时，，所以当时，成立，当，时，，此时，不满足题意，故C正确；记，则，因为，，所以，故在区间上存在使得，故D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，则.【来源】江苏省扬州市仪征市第二中学2020-2021学年高一下学期5月第二次月考数学试题【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得，再由运用正弦的和角公式可得答案.【详解】，，又，，，故答案为：.【点睛】关键点点睛：在解决三角函数中的给值求值问题时，关键在于运用已知的角去表示待求的角，再利用相应的三角函数公式得以解决.14．数据的百分位数是__________.【答案】【解析】，共个数据，，第个数据分别为，.15．已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则.【来源】2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（辽宁卷）【答案】【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．【详解】依题意，当时，y有最小值，即，则，所以.因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得.故答案为：16．已知函数在（）时的最小值为，最大值为，若，则的取值范围为．【来源】江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期初模拟数学试题【答案】【分析】由题易得，在坐标系内画出函数的图象结合分析可得，，，，最后由得出答案即可.【详解】，因为，所以，在坐标系内画出函数y=sinz的大致图象如下：由图象并结合可知，当，即时，y取得最大值，最大值为，因此y的最小值m为，要使y取得最小值，由图象可知必有，解之得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量，，.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间：(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.【来源】江苏省南通市如皋中学2023-2024学年高三上学期期初测试数学试题【答案】(1)；(2)当时，的最大值为，当时，的最小值为【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦函数性质求解其周期与减区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.【详解】（1）已知向量，，所以.⋯⋯⋯⋯⋯2分故函数的最小正周期为；⋯⋯⋯⋯⋯3分由，解得：，，⋯⋯⋯⋯⋯4分故函数的单调递减区间为.⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）由于，得.⋯⋯⋯⋯⋯6分故当，即时，取得最大值，最大值为；⋯⋯⋯⋯⋯8分当，即时，取得最小值，最小值为.⋯⋯⋯⋯⋯10分18．设三个内角所对的变分别为.已知.(1)求角的大小；(2)如图，在的一个外角内取一点，使得，过点分别作直线的垂线，垂足分别为.设，求的最大值及此时的取值.【来源】【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三下学期考前押题卷（二）数学（理）试题【答案】(1)(2)当时，取得最大值为【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得，进而求得.（2）求得的表达式，结合三角函数最值的求法，求得的最大值以及此时对应的的值.【详解】（1）依题意，由余弦定理得，⋯⋯⋯⋯⋯2分所以.⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）依题意可知，⋯⋯⋯⋯⋯6分所以,⋯⋯⋯⋯⋯8分⋯⋯⋯⋯⋯9分,⋯⋯⋯⋯⋯10分所以当时，⋯⋯⋯⋯⋯11分取得最大值为.⋯⋯⋯⋯⋯12分19．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)求证：当时，．【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高三上学期第一次调研测试数学试题【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）因为，所以⋯⋯⋯⋯⋯1分①当时，在单调递减；⋯⋯⋯⋯⋯3分②当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯5分综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，⋯⋯⋯⋯⋯7分要证明，只要证，即证，设，则，令得，⋯⋯⋯⋯⋯9分列表得a10单调递减极小值单调递增⋯⋯⋯⋯⋯11分所以，即，所以．⋯⋯⋯⋯⋯12分20．如图，圆锥SO，S为顶点，是底面的圆心，为底面直径，，圆锥高点P在高SO上，是圆锥SO底面的内接正三角形.  (1)若，证明:平面(2)点P在高SO上的动点，当和平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积.【来源】江苏省淮安市涟水县第一中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意易证，，再根据线面垂直的判定即可证明平面.（2）首先点为原点，平行于方向为x轴，以方向为y轴，以方向为z轴，建立空间直角坐标系