2024届高三11月质量检测试题数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合AxZx23x4，B1,2,5，则AB中元素的个数为（）A.1B.4C.6D.712i2.已知i是虚数单位，则复数的虚部是（）1i1133A.B.C.D.22223.设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件lnx4.函数fx的图象大致为（）exexA.B.C.D.25.已知向量a，b满足aba2，且a1,1，则向量b在向量a上的投影向量为（）A.2,2B.2,2C.1,1D.1,16.如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4km，B是山坡SA的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（）学科网（北京）股份有限公司45A.2kmB.3kmC.25kmD.km520237.已知函数fx满足f11，对任意实数x，y都有fxfyfxyfxy成立，则fmm1（）A.2B.1C.2D.18.已知0，函数fxsinx与gxcosx的图象在,2上最多有两个公共点，则的取值范围为（）15175917A.0,,B.0,,448448179211795C.0,,D.0,,848842二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若a，bR，则下列命题正确的是（）11A.若ab0且ab，则B.若ab，则a3b3abb1bC.若ab0，则D.若aabb，则aba1a10.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系yekxb（e2.718为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（）参考数据：2.85172，2.76387A.b5,6B.若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时C.k0D.若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃学科网（北京）股份有限公司11.欧拉函数nnN*的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：32，42，则（）A.468B.当n为奇数时，nn1n23C.数列n为等比数列D.数列的前n项和小于2n32已知正方体的棱长为，是正方体表面上一动点，且，记点形成的轨迹12.ABCDA1B1C1D12PPAPA1P为，则下列结论正确的是（），，，，∥A.PQ1PQAA1B.PQ2PQAA183C.的长度是8D.的长度是1293三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知等差数列的前项和为，若，，则13.annSna23S410a5______.222214.写出与圆x1y21和圆x1y21都相切的一条直线的方程______.已知关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是15.xlog2xax2a______.12x,0x,216.已知函数fx则方程ffxx的解的个数是______.121x,x1,2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数fxsin2x和gxcos2x10在x处有相同的导数.6（1）求；（）设是的极大值点，是的极小值点，求的值2x1fxx2gxfx1x2.18.（本小题满分12分）如图，在斜四棱柱中，底面正方形的中心是，且平面ABCDA1B1C1D1ABCDOA1OABCD.学科网（北京）股份有限公司（）证明：平面平面；1CB1D1A1B1C1D1（）若该四棱柱的所有棱长均为，求二面角的余弦值21A1B1CD1.19.（本小题满分12分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码110分别对应年份20132022.∼∼图1图2根据散点图，分别用模型①ybxa，②ycdx作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：1021021010ytxixtityiyxixyiytiti1i1i1i1752.2582.54.512028.35110表中，tixitti.10i1（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；（2）（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；（ii）设该科技公司的年利润L（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足L111.225yx（xN且x1,20），问该科技公司哪一年的年利润最大?附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线ˆ的斜率和截距的最小二乘估x1,y1x2,y2xn,ynyˆaˆbx学科网（北京）股份有限公司nxixyiy计分别为bˆi1，aˆybˆx.n2xixi120.（本小题满分12分）在数列中，已知，，22anan0a11n1an1anan1nan0.（）求数列的通项公式；1an（）若数列满足1，求的值；2bbnb1b2b3b99n11anan1n11（3）若数列c满足c1a，求证：ccc1.nnn212n21.（本小题满分12分）在△ABC中，CD为AB边上的高，已知ACBCABCD.C（1）若AB2CD，求tan的值；2（2）若ABkCD，k0，求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值.22.（本小题满分12分）已知函数fxkx1lnxkx.（1）若函数fx在0,上单调递增，求实数k的取值范围；（2）讨论函数fx的零点个数.2024届高三11月质量检测•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C【解析】因为AxZ∣x23x4xZx1x403,2,1,0，B1,2,5，所以AB3,2,1,0,2,5，有6个元素，故选C.2.【答案】A12i12i1i3i3112i1【解析】i，所以复数的虚部为，故选A.1i1i1i2221i2学科网（北京）股份有限公司3.【答案】B【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点，故选B.4.【答案】B【解析】因为函数fx的定义域为xx0，又fxfx，函数fx为偶函数.故选B.5.【答案】A2【解析】由a1,1，得a2.又aba2，所以ab4，所以向量b在向量a上的投影向量为aba2,2，故选A.aa6.【答案】D【解析】以SA为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.2则从点A到点B的最短路径为线段AB，AA2，ASA.42过S作SPAB，则公路距山顶的最近距离为SP，SASA845因为AB422225，所以SP，故选D.AA2557.【答案】D【解析】因为fxyfxyfxfy且f11，令y1，得fx1fx1fx，则fx2fxfx1，所以fx2fx10，即fx3fx0，所以fx3fx，所以fx6fx3fx，故函数fx是周期为6的周期函数.令x1，y0，得f1f1f1f0，则f02；令x1，y1，得f2f0f1f1，则f21.由fx3fx，得f3f02，f4f11，f5f21，f6f32，所以f1f2f3f4f5f60，又202363371，故由函数的周期性知，学科网（北京）股份有限公司2023fmf1f2f3f2022f2023f2023f11，故选D.m18.【答案】C【解析】设hxfxgxsinxcosx2sinx.432因为hx在,2上最多有两个零点，故2，所以03.2由x,2得x,2.4440,0,41415（1）由得0；（2）由得；4442223442,23,45174921（3）由得；（4）由得；484824254434,4（5）由得此时不等式组无实数解.26417921综上可得0,,，故选C.8489.【答案】BD11【解析】对选项A，取a1，b1，满足ab0且ab，则，错误；ab对选项B，因为函数yx3单调递增，当ab时，a3b3，正确；b1b对选项C，ab0，要使，即abaabb，即ab，错误；a1ax2,x0,对选项D，因为函数单调递增，当，则，正确.故选BD.yxx2aabbabx,x010.【答案】ACD【解析】在函数yekxb中，当x0时，eb192，由2.85172，2.76387知，b5,6，故A正确；4811当x14时，e14kb48，所以e14k，则e7k，19242学科网（北京）股份有限公司321kb7k3b1当x21时，eee19224，故B不正确；2111由e7k，得kln0，故C正确；272x7kxb1由y96，得96ee192，所以x7，故D正确.故选ACD.211.【答案】ACD【解析】对于A，因为42，62，84，所以468，