2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合子集个数为（）A.3 B.4 C.8 D.162.设，则（）A. B.1 C. D.23.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为（参考数据：）（）A.6 B.8 C.10 D.124.命题“”的否定是（）A. B.C. D.5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26 B.28 C.30 D.326.已知，则（）A. B. C. D.7.已知函数及其导数定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（）A. B.C. D.8.若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.10.已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（）A.的最小正周期为B.C.将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D.函数在上有且仅有一个零点11.如图，在正方体中，点分别为棱上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当为棱的中点时，则在棱上存在点使得B.当分别为棱的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行C.当分别为棱的中点时，过三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥的体积为定值12.已知曲线在点处切线和曲线在点处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.有最大值1 B.有最小值是1C.有最小值是 D.若，则有最大值为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是终边上的一点，则_____________.14.在中，，是的外心，则等于___________.15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.16.正三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱与底面所成的角为，二面角的平面角为.当该球的表面积最小时，____________.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18.在中，角所对的边分别是.已知.（1）求；（2）为边上一点，，且，求.19.如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.（1）求证：；公众号：全元高考（2）若点的在线段上，且二面角的大小为，求的值.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（1）求值；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．21.已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为.（1）求的方程；（2）直线与的左、右两支分别交于两点（在轴的同侧），当时，求四边形面积的最小值.22.已知函数.（1）当时，证明；（2）当时，讨论的单调性；（3）设，证明.2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】BD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】6【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）（2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）2【20题答案】【答案】（1）．公众号：全元高考（2）．【21题答案】【答案】（1）（2）【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）证明见解析