2023—2024学年第一学期青龙县部分学校期中联考高三数学试题本试卷共22题．全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合0，1，，，则A. B. C.0， D.1，【答案】B【解析】【分析】化简集合N，再求即可．【详解】集合0，1，，，．故选B．【点睛】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．2.平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，根据向量垂直和向量共线的坐标表示可判断BD，根据向量模的运算可判断A，根据数量积运算可判断C.【详解】由题意不妨设，则，，据此逐一考查所给的选项：，，则，选项A错误；，则，选项B正确；，则，选项C错误；不存在实数满足，则不成立，选项D错误；故选：B3.“”是“函数与函数为同一函数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件定义，论证充分性与必要性是否成立即可.【详解】若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题.4.等比数列的前项和为，若，则（）A.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】A【解析】【分析】根据等比数列前项和公式的结构求得.【详解】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A5.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据棱柱和棱锥的体积公式计算【详解】设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是、、，则截去的棱锥的体积，原长方体的体积，剩下的几何体的体积为，∴故选：D6.已知均为单位向量，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意均为单位向量，若，两边平方，解得即，代入夹角公式，根据夹角取值范围，即可求得夹角.【详解】解：依题意，，，所以，即，所以，，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的方法，属于基础题.7.已知，若则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的定义域，对中的分为和讨论，代入相应的解析式，并分别结合指数函数、对数函数的单调性解不等式，即可求出的范围．【详解】当时，由得，所以，又，故，当时，由得，所以，又，故，综上，的取值范围是．故选：D.【点睛】本题主要考查分段函数的不等式解法及指数、对数不等式的解法，同时考查分类讨论的思想，属于基础题．8.已知的一段图象如图所示，则（）A.B.的图象的一个对称中心为C.的单调递增区间是D.函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象【答案】C【解析】【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，即，所以，解得，因为，所以，所以，故A错误；因为，所以函数关于对称，故B错误；令，解得，故函数的单调递增区间为，故C正确；将函数的图象向左平移个单位得为偶函数，故D错误；故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列叙述中正确的是（）A.“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件B.“”是“”的充分不必要条件C.“”是“有实数解”的充要条件D.“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合选项即可求解.【详解】对于选项A，当时，不是反比例函数，当是反比例函数时，，所以“”是“是反比例函数”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于选项B，“”时，，当时，或，所以不能得出，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于选项C，“有实数解，等价于，故“”是“有实数解”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D，“方程有一个正根和一个负根”等价于，解得，所以，“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项D正确.故选：ABD.10.如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为C.的取值范围是D.若，为线段上的动点，则的最小值为【答案】BD【解析】【分析】先求出圆锥母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；将以为轴旋转到与共面，得到，求出判断D作答.【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径，对于A，圆锥的侧面积为：，A错误；对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为：，B正确；对于C，是等腰三角形，，又因为，则，依题意，，而，因此，C错误；对于D，由，，得，有为等边三角形，将以为轴旋转到与共面的位置，得到，则为等边三角形，，如图，于是，因为，，所以，D正确.故选：BD11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.是的极大值点B.使得C.若方程为参数，有两个不等实数根，则的取值范围是D.方程有且只有两个实根．【答案】AB【解析】【分析】根据题意，求导得到函数的单调区间以及极值，画出函数的大致图像，结合图像对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】当时，，则，当，时，，单调递增，当时，，单调递减，且，；当时，，则，当时，，则单调递减，当时，，单调递增，且，，故恒成立，画出的大致图像如图所示.∴是的极大值点，故A正确．结合图像可知，B正确．方程等价于或，由图知有一个实数根，要使原方程有两个实数根等价于只有一解．由图可得：或，故C错；分别画出与的图像，由图可得两函数图像有三个交点，故D错误．故选：AB【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用导数，分别研究与的图象，从而数形结合即可得解.12.某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】令且A、B相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可.【详解】记A“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则且A、B相互独立.从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件，所以；从反面考虑，事件“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得，所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，综上，A、D正确.故选：AD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.，，则的值__________．【答案】54【解析】【详解】由，得：，则，故答案为54.14.的展开式中的系数为___________【答案】80【解析】【分析】写出二项展开式的通项，求出指定项即可得解.【详解】展开式的通项，含的项中，，解得，所以展开式中的系数为.故答案为：8015.在中，角所对的边分别为，若，，，则_______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由正弦定理又所以,所以考点：正弦定理的应用.16.已知函数f(x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是______．【答案】18【解析】【分析】求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.【详解】由题意可得，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴函数f(x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是，故答案为18【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查运算能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，，且，，构成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据可得，所以数列是以2为公差的等差数列，再根据，，构成等比数列，得，即，解出后利用等差数列通项公式即可求出数列的通项公式．（2）易知，则利用错位相减求和法即可求出数列的前项和．【详解】解：（1）由，得，所以数列是以2为公差的等差数列，又，，构成等比数列，得，即，整理解得，所以．（2），则，，两式相减得，即，所以．18.四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角正弦值.【答案】（1）见解析，（2）【解析】【分析】（1）过作于，则由已知可得，从而得，再由∽,可得，由此得，得到，再可证得平面，从而有，然后由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解线面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为，为线段的中点，所以，在等腰梯形中，作于，则由得，所以，所以，因为，所以所以∽,所以，所以，所以，因为，，所以平面，因为在平面内，所以，因为，在平面内，所以平面；（2）解：因为，，所以，,取的中点，连接，则，因为平面，所以，又所以平面，所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，由（1）知平面，则平面的法向量，设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】此题考查了线面垂直的判定和性质的应用，空间直角坐标的应用，考查了运算能力和转换能力，属于中档题.19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角的内角的对边分别为，且______.（1）求；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简即可求出角；选②，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后将代入，最后根据恒等变换化简即可求出角；选③，首先通过正弦定理将已知条件中的边转化成角，然后根据恒等变换化简求出，即可求出角.（2）首先将代入，然后利用恒等变换将其化简成正弦型函数，最后根据正弦函数的性质求解取值范围即可.【小问1详解】选①，所以，所以，整理得.因为，所以.因为，所以.选②因为，所以，所以，整理得.因为，所以，因为，所以.选③因为，所以，所以，整理得.因为，所以.因为，所以，.【小问2详解】因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以，故.20.卫生纸要求无毒性化学物质、无对皮肤有刺激性的原料、无霉菌病毒性细菌残留．卫生纸的特征是吸水性强、无致病菌、纸质柔软厚薄均匀无孔洞、起皱均匀、色泽一致．卫生纸主要是供人们生活日常卫生之用．是人民群众生活中不可缺少的纸种之一．某品牌卫生纸生产厂家为保证产品质量．现从甲、乙两条生产线生产的产品中随机抽取600件进行品质鉴定．并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线16030乙生产线32090（1）根据表中数据判断是否有的把握认为产品的品质与生产线有关？（2）用分层抽样的方法，从样本的优等品中抽取8件进行详细检测，再从这8件产品中任选2件，求所选的2件产品中至少有1件来自甲生产线的概率．附：，其中．0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.635【答案】（1）有的把握认为产品的品质与生产线有关（2）【解析】【分析】（1）由独立性检验公式求，比较与临界值的大小作答结论；（2）由抽样比得两生产线的抽样数，再由古典概型概率公式可得.【小问1详解】补充列联表如下：合格品优等品总计甲生产线160301