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数学-河北省秦皇岛市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试
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2023级高一第一学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共有10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合,则A. B. C. D.2.命题“,”的否定是()A, B.,C., D.,3.已知,,则为()A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与有关4.下列函数中,值域为的是()A. B. C. D.5.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B. C. D.6.若不等式的解集为,则实数的取值范围是()A. B.C. D.7.已知函数是R上的减函数,则a的取值范围是()A. B. C. D.8.某同学解关于不等式时,因弄错了常数的符号,解得其解集为,则不等式的解集为()A B.C. D.9.负实数,满足,则的最小值为()A.1 B.0 C. D.10.已知定义在上的函数满足,且当时,.给出以下四个结论:①;②可能是偶函数;③在上一定存在最大值;④的解集为.其中正确的结论为()A.①② B.①③ C.①④ D.②④二、选择题(共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)11.若函数的定义域为,值域为,则实数的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.412.下列说法正确的有()A.函数的单调递增区间为B.“”是“”必要条件C.“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件D.已知集合,,全集,若,则实数的取值集合为13.已知定义在上的函数的图象是连续不断的,且满足以下条件:①,;②,,当时,;③.则下列选项成立的是()A. B.若,则C.若,则 D.,,使得14.已知为正实数,且,则()A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)15.已知幂函数的图象是轴对称图形,则实数_______.16.已知函数为奇函数,则________.17.若函数在区间上单调,则实数的取值范围是______.18.若当()时,函数是单调函数,且值域为.则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间,则实数m的取值范围为________.四、解答题(共5小题,每小题12分,共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.设:;:.若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.20.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.(1)求当时,函数的解析式;(2)若,求实数的取值范围.21已知函数满足,且.(1)求函数的解析式;(2)若在[0,2]上的最大值为2,求实数的值.22.某品牌手机公司的年固定成本为50万元,每生产1万部手机需增加投入20万元,该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时,每销售1万部手机的收入万元;当年销售量x不低于40万部时,每销售1万部手机的收入万元(1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式;(2)年销售量为多少万部时,利润最大,并求出最大利润.23.已知函数是定义域为的奇函数,且满足.(1)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明;(2)已知,,且,若,证明:. 2023级高一第一学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共有10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】∵∴又∵∴故选B;【考点】:此题重点考察集合的交集,补集的运算;【突破】:画韦恩氏图,数形结合;2.命题“,”的否定是()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题“,”的否定是,.故选:C.3.已知,,则为()A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与有关【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可.【详解】函数的定义域为,,函数偶函数.故选:B.4.下列函数中,值域为的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的取值范围,即可判断ABC;对于函数,可得关于的方程有解,得,即可得出y的范围,即可判断D.【详解】解:对于函数,由于,则,故它的值域不是,故A不满足题意;对于函数,由于,则,故它的值域不是,故B不满足题意;对于函数,由于,则,故它的值域不是,故C不满足题意;对于函数,可得关于的方程有解,∴,∴可以取任意实数,即,故D满足条件.故选:D.5.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由函数的定义域求出的定义域,再由可得答案.【详解】因为函数的定义域为,所以满足,即,又函数有意义,得,解得,所以函数的定义域为.故选:C6.若不等式的解集为,则实数的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,转化为不等式在上恒成立,分和,两种情况讨论,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】由题意知,不等式的解集为,即为不等式在上恒成立,当时,即时,不等式恒成立,满足题意;当时,即时,则满足,即,解得,综上可得,实数的取值范围是.故选:B.7.已知函数是R上的减函数,则a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.【详解】二次函数的对称轴为,因为函数是R上的减函数,所以有.故选:C.8.某同学解关于不等式时,因弄错了常数的符号,解得其解集为,则不等式的解集为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式,进而求得不等式的解集.【详解】由题意可知,且,所以,所以化为,,解得.故选:C9.负实数,满足,则最小值为()A.1 B.0 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件消参,再应用基本不等式求解即可【详解】根据题意有,故,当且仅当,时取等号.故选:10.已知定义在上的函数满足,且当时,.给出以下四个结论:①;②可能是偶函数;③在上一定存在最大值;④的解集为.其中正确的结论为()A.①② B.①③ C.①④ D.②④【答案】C【解析】【分析】令,即可判断①;令,结合奇偶性得定义即可判断②;设,结合当时,,判断出函数的单调性,即可判断③④.【详解】对于①,令,则,所以,故①正确;对于②,令,则,所以,所以为奇函数,又当时,,所以不是常函数,不可能是偶函数,故②错误;对于③,设,则,则,所以,所以是减函数,所以在上一定存在最大值,故③错误;对于④,因为为减函数,,由,得,解得,所以的解集为,故④正确.故选:C.二、选择题(共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)11.若函数的定义域为,值域为,则实数的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为,由可求得,,由此根据值域可确定函数定义域,即可求解.【详解】因为为开口方向向上,对称轴为的二次函数,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,所以当时,,,令,解得,,故要想在上的值域为,则要,结合选项知,实数的值可以是2和3.故选:BC12.下列说法正确的有()A.函数的单调递增区间为B.“”是“”的必要条件C.“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件D.已知集合,,全集,若,则实数的取值集合为【答案】CD【解析】【分析】根据复合函数的单调性判断A,根据必要条件及特例法判断B,根据一元二次方程异号根的充要条件判断C,根据集合运算得,然后分类讨论求解参数判断D.【详解】对于A,令,解得,故函数定义域为,其中,故在上单调递增,在上单调递减,其中在上单调递增,由复合函数单调性可知,的单调递增区间为,A错误;对于B,若,不一定得到,例如:,,故“”不是“”的必要条件,B错误;对于C,有一正一负根,则需要满足,,故“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,C正确;对于D,,要使,进一步可得,故当时,显然满足,此时,当时,此时,解得,符合题意,当时,此时,解得,符合题意,综上可知实数的集合为,故D正确.故选:CD13.已知定义在上的函数的图象是连续不断的,且满足以下条件:①,;②,,当时,;③.则下列选项成立的是()A. B.若,则C.若,则 D.,,使得【答案】BCD【解析】【分析】根据题意可函数为偶函数,在上单调递减,在上单调递增,,,作出大致函数图象,结合图象逐一判断即可.【详解】解;因为函数定义在上的函数,所以由①:,,所以函数为偶函数,又因为由②知:,,当时,,所以函数在上单调递增,所以函数在上单调递减,又因为,所以,作出函数的大致图象,如图所示:对于A:因为函数在上单调递减,因此,故A错误;对于B:因为定义在上的偶函数在上单调递增且连续,且,所以,即,解得,即,故B正确;对于C、因为,,因为函数为偶函数,在单调递增,所以由或,解得或,即,因此C正确;对于D、由C知是函数的最小值,因此,,使得,因此D正确,故选:BCD.14.已知为正实数,且,则()A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BC【解析】【分析】因为为正实数,由,得,然后对条件进行配凑变形,利用基本不等式对选项一一分析即可确定答案.【详解】A选项,因为为正实数,则,令,,则,解得,所以,即,即,当且仅当即时等号成立,故的最大值为,A错误;B选项,由,得,则,所以,,当且仅当,即时等号成立,此时取得最小值,B正确;选项C,,当且仅当,即时等号成立,故的最小值为,即C正确;选项D,,当且仅当,即,时,等号成立,此时取得最小值,D错误.故选:BC.三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)15.已知幂函数的图象是轴对称图形,则实数_______.【答案】2【解析】【分析】根据幂函数定义可知,求解后根据函数对称性验证即可.【详解】因为是幂函数,所以,即,解得或,当时,为奇函数,不满足题意;当时,的图象关于y轴对称,满足题意.所以,.故答案为:216.已知函数为奇函数,则________.【答案】4【解析】【分析】计算出,根据函数奇偶性得到,从而得到.【详解】由题可得,因为为奇函数,所以,即,解得.故答案为:417.若函数在区间上单调,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用二次函数的对称轴与区间的位置关系列不等式即可求解.【详解】二次函数的对称轴为,因为函数在区间上单调,且区间有意义,所以或,解得或,则实数的取值范围是.故答案为:.18.若当()时,函数是单调函数,且值域为.则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间,则实数m的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据已知域同区间的定义,分函数在区间上单调递减和单调递增两种情况分类,列出方程组讨论结果,即可得到答案.【详解】若,则在上单调递减,所以得,所以,,则,又因为,所以,则有,所以,当时,在上单调递增,所以则关于x的方程有两个不同的非负根,所以解得,综上可知.故答案为:四、解答题(共5小题,每小题12分,共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19.设:;:.若是充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】平方化简求解命题成立的范围,解一元二次不等式得命题成立的范围,再根据是的充分不必要条件列不等式组求解即可.【详解】:由,两边平方得,解得.(也可以根据绝对值得性质直接去绝对值求解):,化为,解得.因为是的充分不必要条件,所以,且等号不同时成立,解得,所以实数的取值范围为.20.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.(1)求当时,函数的解析式;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设,则,代入已知的解析式中化简,再结合函数为奇函数可求得结果;(2)将转化为,再判断的单调性,由其单调性可求出不等式的解集.【小问1详解】设,则,所以,因为是定义在上的

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