2024届高三联考数学（文科）参考答案一．选择题：题号123456789101112答案CBACCABBCDAD二、填空题an=+2113．2214．015．5.16．n三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.（本小题满分12分）2设函数fxxx()cos(2)sin=++2.24（1）求函数fx()在区间[-,]上的最大值和最小值；1231（2）设函数gx()对任意xR，有gxgx()()+=，且当x[0,]时，gxfx()()=−；222求函数在[,0−]上的解析式.2f(x)=cos(2x+)+sin2x2421−cos2x11=（cos2xcos-sin2xsin)+=−sin2x+解析：（1）由已知244222..........2分2x[-,]2x[-,]又因为123则631sin21x[-,]3所以2，即f(x)=f(-)=，f(x)=f()=0min124max43所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和0...........6分4（2）由可知函数最小正周期为2，理科1{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}1gx()xsin=2x[0,]又由（1）可知2（2）.........7分11x−[0]，x+[0，]gxxx()sin+=+=2()sin−2当2时，22则222211gx()g(x)+=gxxx()sin=+=2()sin−2由2知222..........9分11x−[,−)x+[0，)gxxx()sin+=+=2()sin2当2时，2则221g(x)=sin2x由g()()x+=gx知2..........11分1−−sin2(0)xx22gx()=1sin2()xx−−综上，22..........12分18.（本小题满分12分）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的胜利召开进一步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径为28.50mm的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出50个，测得其内径尺寸（单位：mm）如下：28.518，28.526，28.504，28.481128.49p，28.541，28.537，28.47q这里用xn表示有n个尺寸为xmm的零件，pq,均为正整数．若从这50个零件中随机抽取1个，则这8个零件的内径尺寸小于28.49mm的概率为．25（1）求pq,的值．（2）已知这50个零件内径尺寸的平均数为xmm，标准差为smm，且s=0.02，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在x−+s,xs内，则称本次抽检的零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．理科2{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}864111750,+++++++=pqp=8,解：（1）依题意可得11+q8解得..........5分=,q=5.5250（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为10.01+++80.026040.02110.0180.04−+−+(++−=)10.0370.0350()()，50所以x=+=028.5028.50，..........7分所以x−=+=sxs28.48,28.52，所以这60个零件内径尺寸在xs−+xs,内的个数为50-1-7-5=37...........10分3740因为=0.8，所以这次抽检的零件不合格．..........12分505019.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明MN∥平面PAB;（2）求四面体N-BCM的体积.2解：（1）由已知得AM=AD=2，取BP的中点T，连接AT,TN31由N为PC中点知TN//BC，TN=BC=2...........3分2又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT.因为AT平面PAB，MN平面，所以MN//平面...........6分（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，1所以到平面的距离为PA...........9分2取BC的中点E，连结AE.由AB=AC=3得AE⊥BC，AE=AB2−BE2=5.理科3{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}1由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S=45=25.BCM21PA45所以四面体N−BCM的体积V=S=...........12分N−BCM3BCM2320.（本小题满分12分）已知函数fxxx()ecos=−x．（1）求曲线yf=x()在点(0,(f0))处的切线方程；π（2）求函数fx()在区间[0,]上的最大值和最小值．2解:（1）因为,所以f(x)=ex(cosx−sinx)−1,则f(0)0=.又因为f(0)1=，所以曲线在点处的切线方程为y=1.……..6分（2）设hxxx()e(cossin)1=−−x，则h(x)=exx(cosx−sinx−sinx−cosx)=−2esinx.ππ当x(0,)时，hx()0，所以hx()在区间[0,]上单调递减.22π所以对任意x(0,]有hxh()(0)0=，即fx()0.所以函数fx()在区间上单调递减.2ππ因此在区间上的最大值为f(0)1=，最小值为f()=−.……..12分2221.（本小题满分12分）x2已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线与椭圆+=y21相交所得线段长为3.4（1）求抛物线C的方程；（2）设圆M过A(2,0)，且圆心M在抛物线C上，BD是圆Ｍ在y轴上截得的弦.当Ｍ在抛物线C上运动时，弦BD的长是否有定值？说明理由；（3）过F(1,0)作互相垂直的两条直线交抛物线C于G、H、R、S，求四边形GRHS的面积最小值．p3解：（1）由已知，抛物线C的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是(,)−，把代入椭圆22p23方程化简得+=1，解得p=2164理科4{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}所以抛物线C的方程为yx2=4...........4分（2）假设Ｍ在抛物线C上运动时弦BD长有定值，理由如下设Mx(,y)00在抛物线C上，可知到y轴距离为||x022根据圆的弦长公式可知：BDx=−2|MA|||02222由已知：|MA|=+(-2)xy00，yx00=422222所以BDxxxyx=−=−++−=2|MA|||244400000则Ｍ在抛物线C上运动时弦的长的定值为4...........8分（3）设过F的直线方程为yk=−x(1),G(x1,,,y1)H(x2y2)yk=−x(1)24k2+42222，由2得kxkxk−++=(24)0得xx12+=2则GHxx=++=+24122yx=4kk同理得RSk=+4421141所以，四边形GRHS的面积TGH==++=++RSkk(4)(44)8(1)322222kk22即四边形的面积的最小值为32...........12分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程x=3cos()为参数在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半1y=sin轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin()22+=.24（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程x2解：（1）C的普通方程为+=y21，C的直角坐标方程为xy+−40=...........5分132（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为是直线，所以||PQ的最小值，即为到的距离d()的最小值，理科5{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}|3cossin4+−|d()2|==+−sin()2|...........8分23当且仅当=+2()kkZ时，d()取得最小值，最小值为2，631此时P的直角坐标为(,)...........10分2223.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数fxxaa()|2|=−+（1）当a=2时，求不等式fx()6的解集；（2）设函数gx()x|21|,=−当xR时，fx(g)(x)+3，求a的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当a=2时，fx(x)|2=2|−2+.解不等式|22|x2−6+，得−13x.因此，fx()6的解集为{xx|−13}...........5分（2）当xR时，fxg()()|xxaax+=−++−2||12|−+−+|212|xaxa=−+|1|aa，1当x=时等号成立，2所以当xR时，fxgx()()3+等价于|1|3−+aa.①..........7分当a1时，①等价于13−+aa，无解.当a1时，①等价于aa−13+，解得a2.所以a的取值范围是[2,)+...........10分理科6{#{QQABDQCAogCIAAAAABgCQQWoCkAQkACCCIoGQEAIsAIAwBNABAA=}#}