绵阳南山中学高2021级高三上期12月月考试题数学（理科）命题人：朱晨蕊，审题人：陈燕春时间：120分钟满分：150分本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.51．复数的共轭复数是（）i2A．2iB．2iC．2iD．2i2．已知集合Ax0x2，Bx4x24x150，则（）A．xA，xBB．xB，xAC．xB，xAD．xA，xB3．若a,b是夹角为60的两个单位向量，ab与3a2b垂直，则（）1717A．B．C．D．4884xy204．若x，y满足约束条件2xy10，则x2(y1)2的最大值为（）x2A．25B．27C．29D．30xxπ5．函数f(x)412sinx的大致图象为（）2A．B．C．D．6．已知点F(0,4)是抛物线C:x22py(p0)的焦点，点P(2,3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF||MP|的最小值为（）A．7B．6C．5D．4417．已知ax的展开式中常数项为24，则a的值为（）xA．1B．2C．2D．28．七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（）A．48种B．72种C．90种D．144种9．已知函数f(x)sin2xacos2x，将fx的图象向右平移个单位长度后，得到gx6的图象.若gx的图象关于直线x对称，则f（）433A．B．C．3D．33310．已知圆C:x2y24x4y10，AB是圆C上的一条动弦，且AB42，O为坐标原点，则OAOB的最小值为（）A．422B．221C．22D．42x2y211．双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线过点P1,3，F1，F2是Ca2b25的左右焦点，且PF12，若双曲线上一点M满足MF，则MF2（）1219917A．或B．C．D．2222212．若实数a，b，c(0,1)，且满足ae0.80.8ea，be1.21.2eb，ce1.61.6ec，则a，b，c的大小关系是（）A．c>b>aB．b>a>cC．a>b>cD．b>c>a第II卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f(x)2xex的图象在x0处的切线方程为.14．已知an是各项均不相同的等差数列，bn是公比为q的等比数列，且qa1b1a2b2a4b4，则．x2y215．已知椭圆C:1(ab0)的右焦点与抛物线y22px(p0)的焦点F重合，a2b2且与该抛物线在第一象限交于点M，若FMx轴，则椭圆C的离心率为．16．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设Ax1,y1,Bx2,y2，则曼哈顿距离dA,Bx1x2y1y2，余弦距离eA,B1cosA,B，其中cosA,BcosOA,OB（O为坐标原点）.已知点M2,1,dM,N1，则eM,N的最大值近似等于.（保留3位小数）（参考数据：21.41,52.24.）三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17．（本小题满分12分）2已知单调递增数列an的前n项和为Sn，且ann2Sn．(1)求an的通项公式；an(2)记log3bnan，求数列的前n项和Tn．bn18．（本小题满分12分）cosC2cosA在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB，ab．sinC(1)求角B；(2)若a3，b7，D为AC边的中点，求△BCD的面积．19．（本小题满分12分）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：(1)求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；(2)用分层抽样的方法从20,40,80,100这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在80,100这组的概率.20．（本小题满分12分）x2y2设椭圆1ab0的左右顶点分别为A1,A2，左右焦点F1,F2.已知A1F23，a2b2A2F21.(1)求椭圆方程.(2)若斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，与以F1,F2为直径的圆交于C，D两点.若122ABCD，求直线l的方程.721．（本小题满分12分）1已知函数fxalnxaR．x(1)当a4时，求f(x)的零点个数；1(2)若f(x1)ex1恒成立，求实数a的值．x1（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）1x1t222．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为3y2t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若曲线C和直线l相交于M，N两点，Q为MN的中点，点P(1,2)，求|PQ|．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数fxmx2，mR，且fx20的解集为[-1，1].(1)求m的值；111(2)若a,b,c0,，且m，求证：a2b3c9.a2b3c答案第1页，共1页参考答案：1．B2．C3．A4．C5．D6．A7．D8．D9．C10．A11．B12．B由ae0.80.8ea，be1.21.2eb，ce1.61.6ec，a0.8b1.2c1.6x1x得，，，令fx，则fx，eae0.8ebe1.2ece1.6exex当x1时，f¢(x)>0，当x1时，fx0，所以fx在,1上是增函数，在1,上是减函数，于是f1.2f1.6，即fbfc，又b，c0,1，所以bc；ac0.81.60.80.820.8e0.82，eaece0.8e1.6e0.8e0.8e0.8e0.8e0.84455因为49，所以445，5，5，56252512522222245因此0.85，于是fafc，又，c0,1，所以ac；e220a2x2xeexeex令gx，则1x1x，所以gx在x2xgx1x0eeexe2xex20.820.80.81.20.81.2,上是增函数，g0.8g1，0，即0，，e0.8e20.8e0.8e1.2e0.8e1.2f0.8f1.2，于是fafb，又a，b0,1，所以ab；综上bac.故选：B.13．y2x14．215．21/1216．0.104设Nx,y，由题意可得：dM,N2x1y1，即x2y11，可知x2y11表示正方形ABCD，其中A2,0,B3,1,C2,2,D1,1，uuuruuur即点N在正方形ABCD的边上运动，因为OM2,1,ONx,y，由图可知：当cosM,NcosOM,ON取到最小值，即OM,ON最大，点N有如下两种可能：uuuruuuruuur425①点N为点A，则ON2,0，可得cosM,NcosOM,ON；525uuur②点N在线段CD上运动时，此时ON与DC1,1同向，不妨取ON1,1，答案第1页，共6页uuuruuur3310则cosM,NcosOM,ON；521031025因为，10525所以eM,N的最大值为10.104.5故答案为：0.104.32n317．(1)an；(2)T.nn443n22（1）由已知，n1时a112S12a1，即有a110，解得a11，22当n2时，由ann2Sn，得an1n12Sn1，2222两式相减，得anan112an，即an1an10，则an1an1an1an10，因为an单调递增，且a11，则an1，an1an10，所以an1an10，即anan11，故an是首项为1，公差为1的等差数列，所以，an的通项公式ann．ann12nann（2）由log3bnan，得bn33，n，所以Tn2n，①bn3333112n1n则有T，②3n32333n3n1111n2111n33n12n3①－②，得T，n2nn11n1n13333313223332n3所以T．n443n215318．(1)B(2)38cosC2cosA（1）由tanB，有tanBsinCcosC2cosA，两边同乘cosB得sinCsinBsinCcosBcosC2cosAcosB，故cosBC2cosAcosB，即cosA2cosAcosB．1因为ab，所以A为锐角，cosA0，所以cosB．22又因为B0,，所以B．3答案第2页，共6页a2c2b219c2491（2）在ABC中，由余弦定理cosB，即，故c23c400，2ac26c2解得c5或c8舍）．112153故SS35sin．△BCD△ABC2238219．(1)x0.016，平均数为65.2；(2).5（1）由频率分布直方图得：0.004x0.020.0080.002201，解得x0.016，阅读时长在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120]内的频率分别为0.08,0.32,0.40,0.16,0.04，所以阅读时长的平均数x0.08300.32500.40700.16900.0411065.2.（2）由频率分布直方图，得数据在20,40,80,100两组内的频率比为0.004:0.0081:2，则在20,40内抽取2人，记为A1,A2，在80,100内抽取4人，记为B1,B2,B3,B4，从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,B4,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,B4B1,B2,B1,B3,B1,B4,B2,B3,B2,B4,B3,B4，共15个，其中抽取的2人都在80,100内的有B1,B2,B1,B3,B1,B4,B2,B3,B2,B4,B3,B4，共6个，62所以所抽取2人都在80,100内的概率P．155x2y220．(1)1(2)yx143222（1）由题意，A1F23ac，A2F2