2023-2024学年度东北育才学校高中部高三第三次模拟考试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．A1,2,2,1Bx,y|xy11.设集合，，则AB（）A.2,1B.2,1C.1,2D.1,212.已知条件p:1，条件q:x22x0，则p是q的（）xA.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知向量a0,4，b3,3，则a在b上的投影向量的坐标是（）A.2,2B.2,2C.0,3D.0,3已知数列，且n，则数列的前项之和为（）4.an,a12,a20an2an21an2024A.1012B.2022C.2024D.40485.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(2x)，当x[0,1]时，f(x)x.函数g(x)e|x1|(1x3)，则f(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为（）A.3B.4C.5D.6x116.已知函数fxsin2sinxR,xR．若fx在区间0,π内没有零点，则的取222值范围是（）111131A.0,B.0,C.,D.,444444π7.已知二面角l的平面角为0,A,B,Cl,Dl,ABl，AB与平面所成2πS1角为．记ACD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则的取值范围为（）3S2第1页/共5页学科网（北京）股份有限公司11A.,1B.,32233C,3D.,1.2218.已知a2ln2,b120.2,c21.1，则（）5A.abcB.bacC.cbaD.acb二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线l：mxy12m0与圆O：x2y2r2有两个不同的公共点A，B，则（）A.直线l过定点2,1B.当r4时，线段AB长的最小值为211C.半径r的取值范围是0,5D.当r4时，OAOB有最小值为1610.已知等比数则an的公比为qq0，前n项积为Tn，若T7T6T8，则（）A.0q1B.q1T1TT1TC.1314D.1415如图，在棱长为的正方体中，点满足，其中，11.1ABCDA1B1C1D1PBPBCBB10,1,0,1则（）A.当1时，BPA1D13B.当λμ，时，点P到平面A1BD的距离为22C.当1时，D1P//平面A1BD第2页/共5页学科网（北京）股份有限公司11D.当时，三棱锥APBD的体积恒为2112ln2x,0x212.定义在0,的函数fx满足fx6fx，且fx．x0,3都sinπx,2x3有f6xfx0，若方程fxaaR的解构成单调递增数列xn，则下列说法中正确的是（）A.f20230B.若数列xn为等差数列，则公差为6C.若2x1x2x1x23，则0aln21n若．则2D.1alnx3i2x3i16nn2i1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若复数z满足34iz2i（i为虚数单位），则z________．ππ14.已知,0且tan3cos2，则sin2________．2415.已知曲线fxx与曲线gxalnx（aR）相交，且在交点处有相同的切线，则a______.16.四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，点E、F分别为PC、AD的中点，平面BEF将四棱锥V1PABCD分成两部分的体积分别为V1,V2且满足V1V2，则________．V2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知直线l1：m2xmy60和直线l2：mxy30，其中m为实数．（1）若l1l2，求m的值；（2）若点P1,2m在直线l2上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．4S18.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S，已知a2cosBabcosA.tanB（1）求角B；S（2）若b3,△ABC的周长为l，求的最大值.l19.如图，在棱长为2的正方体ABCDEFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥MBCGF绕直线第3页/共5页学科网（北京）股份有限公司CG逆时针旋转(0π)后，得到四棱锥MBCGF．π（1）若，求证：平面MCG//平面MBF；2（2）是否存在，使得直线MF平面MBC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．*20.设数列an的前n项和为Sn，已知a11,Sn12Sn1nN.（1）求数列an的通项公式；4abn*24（2）若数列bn满足n，数列bn的前n项和为Tn,nN，都有mmTn，an11an213求m的取值范围.π21.在梯形ABCD中，ABCD，BAD，AB2AD2CD4，P为AB的中点，线段AC与DP3交于O点（如图1）.将ACD沿AC折起到△ACD位置，使得平面DAC平面BAC（如图2）.（1）求二面角ABDC的余弦值；6PQ（2）线段PD上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为?若存在，求出的值；8PD若不存在，请说明理由.2x12122.已知函数fxaexlnx2x2（1）若a0，证明:fxx3;2第4页/共5页学科网（北京）股份有限公司x2lnxxlnx（2）设gxxfx，若x1,xgg恒成立，求实数a的取值范围.exx1x1第5页/共5页学科网（北京）股份有限公司2023-2024学年度东北育才学校高中部高三第三次模拟考试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．A1,2,2,1Bx,y|xy11.设集合，，则AB（）A.2,1B.2,1C.1,2D.1,2【答案】B【解析】【分析】将集合A中的元素代入集合B，验证AB的元素即可.【详解】集合中元素为点，故排除A，D；当x1，y2时，xy1，故1,2AB，故C错误；当x2，y1时，xy1，故2,1AB，故B正确.故选：B12.已知条件p:1，条件q:x22x0，则p是q的（）xA.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由题意分别求出条件p,q的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.11xx1x0【详解】由题意p:10x1或x0，q:x22x0x2或x0，xxx01若x0，则条件q:x22x0成立，但条件p:1不成立，x1若x1，则条件p:1成立，但条件q:x22x0不成立，x因此p是q的既不充分也不必要条件.故选：D.第1页/共24页学科网（北京）股份有限公司3.已知向量a0,4，b3,3，则a在b上的投影向量的坐标是（）A.2,2B.2,2C.0,3D.0,3【答案】B【解析】【详解】根据投影向量的定义，结合坐标运算即可求解.babb122【分析】a在b上的投影向量为acosa,b22bb2,2，bbb333故选：B已知数列，且n，则数列的前项之和为（）4.an,a12,a20an2an21an2024A.1012B.2022C.2024D.4048【答案】C【解析】【分析】对n进行分类讨论，利用分组求和法求得正确答案.【详解】当n为奇数时，an2an2,an2an2，所以数列an的奇数项成首项为2，公差为2的等差数列.当n为偶数时，an2an2,an2an2，所以数列an的偶数项成首项为0，公差为2的等差数列.所以前2024项和为：10121011101210111012221012022024.22故选：C5.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(2x)，当x[0,1]时，f(x)x.函数g(x)e|x1|(1x3)，则f(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】第2页/共24页学科网（北京）股份有限公司【分析】首先根据题干条件确定抽象函数fx的对称性和周期性，然后根据fx的性质及gx的解析式画出fx与gx在1,3的图像，观察图像，结合函数对称性求解所有交点横坐标之和.【详解】由f(x)f(2x)，可知函数fx的图像关于直线x1对称，又fx为偶函数，fxf2xfx2，故函数fx是周期函数，且周期T2，g(x)e|x1|(1x3)，g(x)的图像也关于直线x1对称，当1x2时，f(x)2x,g(x)e1x，设h(x)2xe1x,(1x2)，则h(x)1e1x0，即函数h(x)在[1,2]为减函数，又h(1)0，即h(x)≤0，即函数f(x)，g(x)的图像在(1,2)无交点，则函数f(x)，g(x)在(1,3)上的图像如图所示，可知两个图像有3个交点，一个在直线x1上，另外两个关于直线x1对称，则三个交点的横坐标之和为3.故选：Ax116.已知函数fxsin2sinxR,xR．若fx在区间0,π内没有零点，则的取222值范围是（）111131A.0,B.0,C.,D.,444444【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解.2x11112π【详解】fxsinsinxsinxcosxsinx,2222224πππ若0，因为x0,π，所以x,π，444因为fx在区间0,π内没有零点，第3页/共24页学科网（北京）股份有限公司π1所以π0，解得0；44πππ若0，因为x0,π，所以xπ,，444因为fx在区间0,π内没有零点，π3所以ππ，解得0；4431综上，,，44故选:D.π7.已知二面角l的平面角为0,A,B,Cl,Dl,ABl，AB与平面所成2πS1角为．记ACD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则的取值范围为（）3S211A.,1B.,32233C.,3D.,122【答案】A【解析】2π【分析】作出二面角的平面角以及AB与平面所成角，并表