专题02追及与相遇问题一、有关匀变速直线运动的基本公式：①速度公式：；（此公式也可以用来求加速度或者时间）②位移公式：；（注意：当时，）③速度-位移公式：；（公式可以变形为：，从而用于求解加速度）二、匀变速直线运动的常用推论：①中间时刻瞬时速度公式：；②位移中点瞬时速度公式：；③两个相邻相等时间间隔内的位移差：。（该推论可以用来判断物体是否做匀变速直线运动）在解决追及问题和相遇问题时，首先要对运动过程进行分析，分别抽象出追及问题或相遇问题中的研究对象是匀速直线运动、匀加速直线运动还是匀减速直线运动，例如追及问题中的追及者是匀加速直线运动，被追及者是匀速直线运动。其次根据题意，画出运动示意图，找出它们的临界条件和位移关系，列出方程求解即可。一、追及问题追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个最大值。第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时有最大距离。（2）若两者位移相等时，则追上。二、相遇问题（1）同向运动的两物体追上即相遇。（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。三、解决追及和相遇问题的一个条件、两个关系1．分析问题时，一定要注意抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。两个关系是时间关系和位移关系，时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，这对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益。2．若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。3．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，根据它们对应的临界状态分析相应的临界条件。四、解决追及和相遇问题的常用方法：1.临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大间距；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小间距（速度相等前，两物体未相遇）。2.图像法：①用x-t图像求解时，分别作出两个物体的x-t图线，如果两个物体的x-t图线相交，则说明两物体相遇。②用v-t图像求解时，注意比较v-t图线与坐标轴所围图形的面积之差的绝对值与初始间距的大小关系。3.函数法：由匀变速直线运动的位移公式可列出方程，利用函数法求解。4.转换参考系法：一般情况下，选择地面为参考系，但在一些特殊问题中，可转换参考系，寻找两物体间的相对运动关系。在追及问题中，常把被追物体作为参考系。典例1：（2021·河北·高考真题）如图，一滑雪道由和两段滑道组成，其中段倾角为，段水平，段和段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若后质量为的滑雪者从顶端以的初速度、的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：（1）滑道段的长度；（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。【答案】（1）；（2）【规范答题】（1）设斜面长度为，背包质量为，在斜面上滑行的加速度为，由牛顿第二定律有解得滑雪者质量为，初速度为，加速度为，在斜面上滑行时间为，落后时间，则背包的滑行时间为，由运动学公式得联立解得或故可得（2）背包和滑雪者到达水平轨道时的速度为、，有滑雪者拎起背包的过程，系统在光滑水平面上外力为零，动量守恒，设共同速度为，有解得典例2：（2022·四川·盐亭中学模拟）龙门中学禁止学生骑电动自行车上、放学，一学生违规驾驶电动自行车在平直公路上行驶，速度为v1=36km/h。突然发现前方26m处静止停放着一辆交通事故车，马上紧急刹车，并以2m/s²的恒定加速度减速行驶，分情况讨论：（1）如果不考虑反应时间，通过计算说明，该违规驾驶电动自行车学生是否会出现安全问题？（2）如果考虑到该名学生看到交通事故时的反应时间为0.2s，通过计算说明，该违规驾驶电动自行车学生是否会出现安全问题？（3）交通事故车发现后方26m处的学生，马上以速度v2=2m/s匀速驾驶离开，两车均不考虑反应时间，求两车相距最近的距离。【答案】（1）不会；（2）会；（3）10m【规范答题】（1）刹车距离不会出现安全问题。（2）反应时间内前进距离因为会出现安全问题。（3）两车速度相等时，距离最近最近距离联立解得典例3：（2022·福建南平·三模）某足球场长、宽。在某中学举办的一次足球比赛中，攻方前锋在中线处将静止的足球沿边线向前踢出，如图所示，足球获得的初速度并在地面上沿边线做匀减速直线运动，加速度大小为。足球质量为。（1）求运动员踢球过程对足球做的功和足球停下时到底线的距离；（2）足球开始做匀减速直线运动的同时，该队员沿边线向前追赶足球。追赶过程中该队员先做初速度为零的匀加速直线运动，速度达到后做匀速直线运动。若足球停下时该队员刚好追上足球，求该队员加速阶段的加速度大小。【答案】（1），；（2）【规范答题】（1）已知足球的初速度为，由动能定理可得运动员踢球过程对足球做的功为解得足球的加速度大小为，足球做匀减速运动的时间为运动的位移为足球停下时到底线的距离为（2）设运动员加速时间为，运动员的最大速度为，加速阶段的位移为匀速阶段的位移为联立解得根据解得加速阶段加速度大小为典例4：（2022·广东·华南师大附中模拟）如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点（t=0），A、B两车的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1=12m。（1）求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小。（2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t=0）两车的距离s0应满足什么条件？【答案】（1）vB=12m/s，a=3m/s2；（2）s0>36m【规范答题】（1）在t1=1s时A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得解得B车的速度为vB=12m/s图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为其中t2=5s解得A车的加速度大小为a=3m/s2（2）两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v-t图像的t2=5s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则代入数据解得s=36m因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离s0应满足条件为s0>36m1．（2022·山西晋中·二模）我国技术和应用居世界前列，无人驾驶汽车是利用先进的5G技术制造的汽车。在不少大城市已经使用无人驾驶公交车。无人驾驶汽车上配有主动刹车系统，当车速超过30km/h时，汽车主动刹车系统会启动预判：车载电脑通过雷达采集数据在内进行分析预判，若预判汽车以原速度行驶后可能会发生事故，汽车会立即主动刹车。现有一无人驾驶汽车正以的速度匀速行驶，在它的正前方相距处有一大货车正以的速度匀速行驶。若取重力加速度，问：（1）预判结束时，两车之间的距离。（2）若预判结束时，汽车立即开始以的加速度刹车，同时大货车开始减速行驶，且刹车时大货车所受阻力与车重的比值可k=0.32，则要使两车不相撞，求汽车加速度的取值范围。（计算出的数据请保留3位有效数字）【答案】（1）；（2）【规范答题】（1）内，汽车和大货车行驶的位移分别为预判结束时，两车之间的距离为（2）设汽车刹车总时间为t1，则有解得大货车减速时的加速度大小为大货车刹车总时间为所以大货车先停下来。设汽车的刹车位移为，大货车的刹车位移为，根据运动学规律有要使两车不相撞，应满足解得2．（2022·江苏·模拟）如图所示，质量均为m完全相同的两个弹性环A，B用不可伸长的、长为L的轻绳连接，分别套在光滑水平细杆OM和足够长光滑竖直细杆ON上，杆OM与杆ON在O点用一小段圆弧平滑相连，A环通过O点时速率不变。现将轻绳拉至水平位置伸直，B环位于O点，并同时由静止释放两环。（1）若B环下降高度h（）时，B环加速度恰好为零，求此时绳中拉力大小；（2）求A环从开始运动到O点过程中，轻绳对A环拉力所做的功；（3）求A环和B环第一次碰撞前瞬间A、B两环速度的大小。【答案】（1）；（2）；（3），【规范答题】（1）若B环下降高度h（）加速度为零时设轻绳与竖直方向夹角，如图因B环加速度恰好为零，则有解得（2）设A环到达O点时速度为，此时B环的速度等于0，B环下降L过程中，A、B系统机械能守恒，有解得轻绳对A环拉力所做的功（3）A环过O点后做初速度为、加速度为g的匀加速直线运动，B环做自由落体运动，设从A环经过O点开始，追上B环用时t，A、B即将发生第一次碰撞时二者的速度分别为、，则有解得故A环追上B环时3．（2022·宁夏六盘山高级中学模拟）如图1所示，OB为接力赛跑道，AB为长L=20m的接力区，两名运动员未在接力区内完成交接棒视为犯规。某次训练中，甲匀速跑至接力区前x0=15m处时，向乙发出起跑口令。乙听到口令从A处开始起跑，当加速到与甲速度相等时恰好被甲追上，完成交接棒。甲乙v-t图像如图2所示，忽略口令传播与乙的反应时间，求：（1）接棒前，乙的加速时间t和加速度a的大小；（2）通过计算推断两人交接棒过程是否犯规。【答案】（1）3s；m/；（2）交接棒过程中没有犯规【规范答题】（1）乙接棒前加速过程，甲的位移=vt乙的位移=vt根据题意有=-v=at联立得t=3sa=（2）乙接棒前加速过程,乙的位移=a=15m