专题5回归分析例1．已知回归方程ŷ=5x+1，则该方程在样本（1，4）处的残差为（ ）A．﹣2 B．1 C．2 D．5例2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程ŷ=-0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ŷ平均减少0.2个单位；④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．以上正确说法的是 ．例3．下列命题中，正确的命题有 ．①回归直线ŷ=b̂x+â恒过样本点中心（x，y），且至少过一个样本点；②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好；③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好．例4．下列命题：①相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好．②对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大．③残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越高．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0．其中错误命题的个数为 ．例5．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得i=120xi=80，i=120yi=4000，i=120（xi-x）2＝80，i=120（yi-y）2＝8000，i=120（xi-x）（yi-y）＝7000．（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：使用年限台数款式1年2年3年4年5年甲款520151050乙款152010550某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)i=1n(yi-y)2．对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b̂=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，â=y-b̂x．例6．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r（精确到0.01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量X（单位：小时）30＜X＜5050≤X≤70n≥2光照控制仪最多可运行台数542若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其相关系数公式r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2，回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b̂=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1n(xi-x)2，â=y-b̂x，参考数据0.3≈0.55，0.9≈0.95．例7．湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如表：等级ABCDE比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间[81，98][72，80][66，71][63，65][60，62]生物学科各等级对应的原始分区间[90，100][77，89][69，76][66，68][63，65]现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据（Yi，Ti），请计算生物原始分Yi与生物转换分Ti之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间等级ABCDE原始分从高到低排序的等级人数占比约15%约35%约35%约13%约2%转换分T的赋分区间[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：Y2-YY-Y1=T2-TT-T1．（其中：Y1，Y2别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T的计算结果按四舍五入取整）．附3：i=16（Yi-Y）（Ti-T）＝74，i=16(Yi-Y)2i=16(Ti-T)2=5494≈74.12，r=i=1n(Yi-Y)(Ti-T)i=1n(Yi-Y)2i=1n(Ti-T)2．例8．某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．（Ⅰ）试估计该市市民的购房面积的中位数m0；（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110，130]的40位市民中随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率；（Ⅲ）根据散点图选择ŷ=â+b̂x和ŷ=ĉ+d̂lnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为ŷ=0.9369+0.0285x和ŷ=0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值如表所示：ŷ=0.9369+0.0285xŷ=0.9554+0.0306lnxi=113(yi-ŷi)20.0005910.000164i=113(yi-y)20.006050请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）．【参考数据】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，2≈141，3≈1.73，23≈4.80．【参考公式】R2=1-i=1n(yi-ŷi)2i=1n(yi-y)2．例9．某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如表：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤16时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：ŷ=4.1x+11.8；模型②：ŷ=21.3x-14.4；当x＞16时，确定y与x满足的线性回归方程为：ŷ=-0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤16时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程ŷ=4.1x+11.8ŷ=21.3x-14.4i=17(yi-ŷi)2182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1-i=1n(yi-ŷi)2i=1n(yi-y)2．）（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程ŷ=b̂x+â的系数公式b̂=i=1nxiyi-nx⋅yi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2；â=y-b̂x）（Ⅲ）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52，0.012），公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%但不超过53%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．（附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）例10．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据．数据一：身高在[170，180）（单位：cm）的体重频数统计体重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人数206010010080201010数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均体重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依据数据一将下面男高中生身高在[170﹣180）（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170﹣180）（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）（Ⅱ）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；（Ⅲ）说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算）参考公式：b̂=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nx⋅yi=1nxi2-nx2，â=y-b̂x．参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，