专题11两点分布例1．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．Ⅰ从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；Ⅱ从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；Ⅲ假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第k类电影得到人们喜欢．“”表示第k类电影没有得到人们喜欢2，3，4，5，写出方差，，，，，的大小关系．【解析】Ⅰ设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为部，第四类电影中获得好评的电影有：部，从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率为：；Ⅱ设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：部，第五类获得好评的有：部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：；Ⅲ由题意知，定义随机变量如下：，则服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：10P，．第二类电影：10P，．第三类电影：10P，．第四类电影：10P，．第五类电影：10P，．第六类电影：10P，．方差，，，，，的大小关系为：例2．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（1）记“函数为R上的奇函数”为事件A，求事件A的概率；（2）求的概率分布和数学期望．【解析】设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z．依题意得解得（1）若函数为R上的奇函数，则．当时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．．事件A的概率为．（2）依题意知或2，则的概率分布为02P的数学期望为．例3．某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．（1）设1箱零件人工检验总费用为元，求的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．【解析】解：（1）的可能取值为8，20，，，则的分布列为8200.41120.5888（2）由（1）知，，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为元．因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为元，且，所以应该选择人工检验．例4．绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【解析】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：150.30.7（元，则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为，则是随机变量，其分布列为：50.80.2（元，则5000个游客的平均利润为（元，该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价元，则，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为，设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：，当时，有最大值3.45元，当定价为13元时，日平均利润取最大值为元．例5．某人某天的工作是，驾车从地出发，到，两地办事，最后返回地，，三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如表：路段正常行驶所需时间（小时）上午降水概率下午降水概率20.30.620.20.730.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时．现有如下两个方案：方案甲：上午从地出发到地办事然后到达地，下午在地办事后返回地；方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地（1）若此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？【解析】解：（1）由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回地的时间为17点，因此若18点之前能返回地的充要条件是降水的路段数不超过1，记事件，，分别表示在上午路段降水、上午路段降水、下午路段降水，则所求概率：．（2）设基本路段正常行驶时间为，降水概率为，则该路段行驶时间的分布列为：行驶时间概率，路段正常行驶所需时间（小时）上午上午下午下午降水概率行驶时间期望值降水概率行驶时间期望值20.32.30.62.620.22.20.72.730.33.30.93.9设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为，，则，．采用甲方案更有利于办事之后能更早返回地．例6．某单位计划组织200名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测已知随机一人血检呈阳性的概率为,且每个人血检是否呈阳性相互独立．根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机分成20组,每组10人,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验设进行化验的总次数为X,试求X的数学期望；Ⅱ若该疾病的患病率为,且患该疾病者血检呈阳性的概率为,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率参考数据：,,【解析】解：设每组化验的次数为,则取值为1,11．,,的分布列为：  1 11   ．进行化验的总次数为X的数学期望．设事件A表示“血检呈阳性”,B表示事件“该疾病”．由题意可得：,,,由条件概率,可得．．单位有一职工血检呈阳性,则该职工确实患该疾病的概率为．例7．在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽N个人的血,可以用两种方法进行将每个人的血分别去验,这就需N次按k个人一组进行分组,把从k个人抽出来的血混在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k个人的血液都呈阴性反应,这样,这k个人的血就只需验一次若呈阳性,则再对这k个人的血液分别进行化验这样,这k个人的血总共要化验次假设每个人化验呈阳性的概率为p,且这些人的试验反应是相互独立的．Ⅰ设以k个人为一组时,记这k个人总的化验次数为X,求X的分布列与数学期望；Ⅱ设以k个人为一组,从每个人平均需化验的次数的角度说明,若,选择适当的k,按第二种方法可以减少化验的次数,并说明k取什么值时最适宜取【解析】解：Ⅰ个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为,呈阳性结果的概率为．X1 P   ,Ⅱ由题意,小于1且取得最小值时,就能得到最好的分组方法．,且,最适宜．例8．某种病毒性疾病,患该疾病的血液呈阳性,不患的呈阴性依据已发病例数据统计,一般人群中该病的阳性者的比例为某市体检中心一般采取了如下两种的检验方法：第一种是逐个抽血检验第二种为了减少工作量是把4位职工分为一组,将4人的血缸液混合检验,如果混合血液呈阴性,4人平均每人化验0.25次；如果混合血液呈阳性,则对4人再逐个进行化验,4人共做了5次化验,相当平均每人化验次,假设不同人之间患该疾病是相互独立的现某单位为1000名职工进行抽血体检,检验这种病毒性疾病．Ⅰ若采取第一种化验方法,求甲乙丙丁4人中,恰有2人血液呈阴性的概率；Ⅱ若医院采取第二种化验方法,比以往每人化验1次可减少多少工作量？【解析】解：Ⅰ因为不同人之间患病是相互独立的,所以采取第一种化验方法,求甲乙丙丁4人中,恰有2人血液呈阴性的概率为；Ⅱ医院采取第二种化验方法,设平均每人的化验次数为随机变量,所有可能的取值为,,由题意可得4人混合血液呈阴性的概率为,阳性的概率为所以随机变量的分布列为0.251.25P所以的期望为,1000名职工进行抽血体检,每人化验一次,平均化验次数为,医院采取第二种化验方法,相当于减少第一种方法的工作量的以上．例9．某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标来衡量产品的质量.当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为元，求的分布列与数学期望；【解析】（1）根据条形图可知，优等品的频率为，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为.（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为，由题意，或；.故的分布列为：4700039000所以数学期望.例10．某地区进行疾病普查,为此要检验每一人的血液,如果当地有N人,若逐个检验就需要检验N次,为了减少检验的工作量,我们把受检验者分组,假设每组有k个人,把这k个人的血液混合在一起检验,若检验结果为阴性,这k个人的血液全为阴性,因而这k个人只要检验一次就够了,如果为阳性,为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性,就要对这k个人再逐个进行检验,这时k个人的检验次数为次,假设在接受检验的人群中,每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的,且每个人是阳性结果的概率为p．Ⅰ为熟悉检验流程,先对3个人进行逐个检验,若,求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率Ⅱ设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数．当,时,求的分布列；试运用统计概率的相关知识,求当k和p满足什么关系时,用分组的办法能减少检验次数．【解析】解：Ⅰ对3人进行检验,且检