专题22函数及其性质（2020-2022年真题练）一、单选题1．（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（       ）A．B．C． D．【解析】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（       ）A． B． C． D．【解析】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（       ）A． B． C．0 D．1【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．4．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D5．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（       ）A．B．C． D．【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.7．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（       ）A． B． C． D．【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.8．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（       ）A． B．C． D．【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.9．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）A． B． C． D．【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.10．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）A． B． C． D．【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B11．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.12．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．，所以．思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．13．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C14．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（       ）A． B． C． D．【解析】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B15．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（       ）A． B．C． D．【解析】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B16．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（       ）A． B．C． D．【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.17．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（       ）．A． B．C． D．【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.18．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）A．B．C． D．【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误.故选：A.19．（2020·全国·高考真题（文））设函数,则（       ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．20．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ）A． B．C． D．【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或，解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.21．（2020·全国·高考真题（理））设函数，则f(x)（       ）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.二、多选题22．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（       ）A． B． C． D．【解析】因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.三、双空题23．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．【解析】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．24．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．【解析】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.25．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【解析】若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1四、填空题26．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．【解析】因为，所以，解得且，故函数的定义域为；27．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________【解析】因为为奇函数，所以，且，又关于直线对称，所以，所以，则，所以函数是以4为周期的周期函数，作出函数和的图像如图所示：由的正数解依次为、、、、、，则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，所以.28．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．【解析】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足）29．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则___________.【解析】，故，30．（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________【解析】因为，，所以，，因为为奇函数，所以，由，得，因为，所以.31．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.【解析】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，32．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③五、解答题33．（2021·湖南·高考真题）已知函数（1）画出函数的图象；（2）若，求的取值范围.【解析】（1）函数的图象如图所示：（2），当时，，可得：，当，，可得：，所以的解集为：，所以的取值范围为.34．（2021·江苏·高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.(1)求实数的值；(2)求的值；(3)求函数的解析式.【解析】(1)由直线过定点可得：，由，解得，所以直线过定点.又因为时，，所以，有，.(2)，因为为偶函数，所以，所以.(3)由(1)知，当时，.当时，，，又为偶函数，所以，综上可知，.35．（2021·全国·高考真题（文））已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【解析】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.36．（2020·山东·高考真题）已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，则，因为，所以，即，解得.