专题九 三角形中的最值(范围)问题【方法总结】三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](2020·浙江)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－eq\r(3)a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．解析 (1)由正弦定理，得2sinBsinA＝eq\r(3)sinA，又在△ABC中，sinA>0，故sinB＝eq\f(\r(3),2)，由题意得B＝eq\f(π,3)．(2)由A＋B＋C＝π，得C＝eq\f(2π,3)－A．由△ABC是锐角三角形，得A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))．由cosC＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝－eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA，得cosA＋cosB＋cosC＝eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2)))．故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2)))．[例2](2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac．(1)求B的大小；(2)求eq\r(2)cosA＋cosC的最大值．解析 (1)由a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac，得a2＋c2－b2＝eq\r(2)ac．由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2)ac,2ac)＝eq\f(\r(2),2)．又0＜B＜π，所以B＝eq\f(π,4)．(2)A＋C＝π－B＝π－eq\f(π,4)＝eq\f(3π,4)，所以C＝eq\f(3π,4)－A,0＜A＜eq\f(3π,4)．所以eq\r(2)cosA＋cosC＝eq\r(2)cosA＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))＝eq\r(2)cosA＋coseq\f(3π,4)cosA＋sineq\f(3π,4)sinA＝eq\r(2)cosA－eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝eq\f(\r(2),2)sinA＋eq\f(\r(2),2)cosA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))．因为0＜A＜eq\f(3π,4)，所以eq\f(π,4)＜A＋eq\f(π,4)＜π，故当A＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即A＝eq\f(π,4)时，eq\r(2)cosA＋cosC取得最大值1．[例3](2014·陕西)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若a，b，c成等差数列，证明sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．解析 (1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b．由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB．∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为eq\f(1,2)．[例4]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0．(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积；(2)求sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))的取值范围．解析 (1)因为(2c－a)cosB－bcosA＝0，由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，则2sinCcosB－sin(A＋B)＝0，求得cosB＝eq\f(1,2)，B＝eq\f(π,3)．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝(a＋c)2－2ac－2accosB，求得ac＝40，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝10eq\r(3)．(2)sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))＝sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A－\f(π,6)))＝sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝－cos2A＋cosA＋1，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，令u＝cosA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，y＝－u2＋u＋1∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(5,4)))．【对点训练】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值．2．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．(1)求角A的大小；(2)求eq\r(3)cosC－sinB的取值范围．3．(2016山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．4．(2015湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．(1)证明：B－A＝eq\f(π,2)；(2)求sinA＋sinC的取值范围．考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围)【例题选讲】[例1]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc．(1)求角A的大小；(2)若a＝eq\r(3)，求BC边上的中线AM的最大值．解析 (1)由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又0