专题10几何问题例1．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（       ）A．70 B．64 C．60 D．58例2．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（       ）A． B． C． D．例3．在正方体的个顶点中，以任意个顶点为顶点的三棱锥，共有（       ）A．个 B．个 C．个 D．个例4．若一个正方体绕着某直线旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线的条数为（       ）A． B． C． D．例5．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（       ）A．36 B．21 C．12 D．6例6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（       ）.A．20种 B．16种 C．12种 D．8种例7．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为A．12 B．24 C．48 D．58例8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有A．24对 B．16对 C．18对 D．48对例9．从正方体的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为 （ ）A． B． C． D．例10．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（     ）条A．40 B．60 C．80 D．120例11．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架（由24个棱长为l个单位长度的正方体框架组合而成）．一建筑工人从A点沿脚手架到点B，每步走l个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有     A．150条 B．525条 C．840条 D．1260条例12．四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,则不同的取法共有A．150种 B．147种 C．144种 D．141种（多选题）例13．已知正方体.下列命题正确的是（          ）A．正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对；B．从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同的四面体；C．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有36对；D．若给正方体每个面着一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有96种.例14．从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体.例15．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种．例16．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个.例17．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________；例18．从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有________例19．正方体的12条棱的中点和8个顶点共20个点中，任意两点连成一条直线，其中与直线垂直的直线共有________条.例20．一个正方体的个顶点可以组成__________个非等边三角形.例21．动点从正方体的顶点出发，沿着棱运动到顶点后再到，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为__________．（用数字作答）例22．将正方体的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并涂好了过顶点A的3个面得颜色，那么其余3个面的涂色方案共有 种例23．正方体的八个顶点可确定________个正三角形.例24．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有___________.例25．如图，点,,,分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组（）共有个.例26．（1）从n不同型号的鞋子里任意取出m只（），没有任何两只成对的取法有多少种？（2）由正方体的棱、面对角线和体对角线共可组成多少对异面直线？例27．如图为正方体，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意跳到相邻三顶点之一，若在五次内跳到点，则停止跳动；若5次内不能跳到点，跳完五次也停止跳动，求：（1）5次以内能到点的跳法有多少种？（2）从开始到停止，可能出现的跳法有多少种？例28．（1）已知圆上有个点，过任意个点都可画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？（2）已知空间中个点，且任意个点都不共面，即以任意个点为顶点都可构造一个四面体，则一共可以构造多少个四面体？例29．下列问题是排列问题，还是组合问题？(1)从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会，共有多少种不同的选法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共有多少个不同分数？(3)已知空间有8个点，其中任何4点都不共面，则从这8个点中任意选取4点作为顶点构成一个四面体，共可以构成多少个四面体？例30．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？