专题10几何问题例1．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（       ）A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】【分析】利用正方体的性质，结合构成三棱锥的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数.【详解】由题意知：要使正方体的顶点为顶点构成三棱锥，则4个顶点不共面，1、8个顶点任选4个，有种，2、8个顶点任选4个，共面的有12种，∴以正方体的顶点为顶点的三棱锥有个.故选：D例2．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解.【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，正方体表面四点共面不能构成四面体有种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，所以可得到的四面体的个数为种，故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.例3．在正方体的个顶点中，以任意个顶点为顶点的三棱锥，共有（       ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】【分析】利用间接法可得结果：从正方体的个顶点中任取四个顶点的取法减去四点共面的情形即可得到结果.【详解】从正方体的个顶点中任取四个顶点，共有种，其中有6个表面和6个对角面中的四个顶点共面，不能构成三棱锥，所以共有个三棱锥.故选：C.【点睛】本题考查了简单的组合应用题，考查了间接法，属于基础题例4．若一个正方体绕着某直线旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线的条数为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】正方体绕着直线旋转不到一周能与自身重合，则必过正方体中心，再分三种情况讨论得解.【详解】若正方体绕着直线旋转不到一周能与自身重合，则必过正方体中心，否则，正方体绕着直线旋转不到一周后，中心不能回到原来的位置；共有三种情况：如图所示；当过正方体的对角线两顶点时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时的直线共有条；当过正方体两相对棱中点时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有条；当过正方体对面中心时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有条；综上，符合条件的直线有条.故选：D.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.例5．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（       ）A．36 B．21 C．12 D．6【答案】B【解析】【分析】先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面，平面，平面，共有，故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.例6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（       ）.A．20种 B．16种 C．12种 D．8种【答案】C【解析】【分析】正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个共有组，再考虑重复情况得到答案.【详解】正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个共有组，每组中包含两条棱，故有故选：【点睛】本题考查了计数问题，意在考查学生的空间想象能力.例7．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为A．12 B．24 C．48 D．58【答案】B【解析】【分析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2．【详解】解：当顶点为A时，三棱锥A﹣EHG，A﹣EFG，A﹣DCG，A﹣DHG，A﹣BCG，A﹣BFG，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个．故选：B．【点睛】本题考查线面位置关系，属于中档题．例8．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有A．24对 B．16对 C．18对 D．48对【答案】C【解析】【分析】考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可，相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对.【详解】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可.相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，正方体有三组相对面，故3×6=18，故选C【点睛】本题考查空间直线平行与垂直的判断，考查空间想象能力，考查分类讨论思想，属于中档题.例9．从正方体的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为 （ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】个顶点选个，总的方法数有种，其中四点共面的有种，故总的方法有种.【点睛】本题主要考查分类计数原理，考查用对立事件来计算组合数的方法.在个顶点中选出个来构成四面体，如果直接来讨论，需要讨论的情况很多，故采用先计算出所有可能，然后减去四点共面的情况，从而得到最终结果.正难则反，这是一个有效的解题策略.例10．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（     ）条A．40 B．60 C．80 D．120【答案】B【解析】【详解】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.考点：分步计数乘法原理.例11．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架（由24个棱长为l个单位长度的正方体框架组合而成）．一建筑工人从A点沿脚手架到点B，每步走l个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有     A．150条 B．525条 C．840条 D．1260条【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意可得一共向上走3次，向右4次，向前2次一共9次，因为不连续向上攀登，先把向右4次，向前2次排起来共有次，但是向左，向前没有顺序，所以还要除以，然后把向上的3次插进去，有种，所以共有种，故选择B考点：排列组合例12．四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,则不同的取法共有A．150种 B．147种 C．144种 D．141种【答案】D【解析】【详解】试题分析：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有－4－6－3=141种考点：本题考查排列组合的应用．点评：典型题，注意间接法与直接法的灵活运用，有时使用间接法简便．易错题，考虑问题要全面．（多选题）例13．已知正方体.下列命题正确的是（          ）A．正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对；B．从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同的四面体；C．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有36对；D．若给正方体每个面着一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有96种.【答案】AD【解析】【分析】找1条棱的一面直线对数，再计算总全体异面直线对数，可判断；算出从8个顶点取4个顶点的组合数再减去四点共面的个数可判断；找一个面的对角线与其它面对角线成角的对数，再计算所有对数可判断；根据涂颜色3种或4种进行计算可判断．【详解】解：先找出与棱所在直线异面其它棱所在直线：，，，共4条，相互异面的共（对，故对；从8个顶点取4个顶点的组合数为：，由正方体的6个面和6个对角面可知四点共面的情况有12种组合，可得到（个不同的四面体，故错；与面对角线成的面对角线有：，，，，，，，共8条，所有面对角线构成共对，故错；当用3种颜色时，所有相对面颜色相同，有（种方法．当用4种颜色时，有2组对面颜色相同，有．共（种涂色方法，故对．答案故选：AD．例14．从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体.【答案】    12    58【解析】【分析】根据题意，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，可作个四面体，得到答案.【详解】正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作个四面体.故答案为：12；58.【点睛】本题考查了不同平面和四面体的个数，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.例15．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种．【答案】12【解析】【分析】分两步：第1步，先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对的面)；第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法；再由分步乘法原理可得答案.【详解】解：分两步：第1步，先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对的面)；第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法，这样前后选出的两个面符合题目要求．所以共有选法种数为3×4＝12.故答案为：12.例16．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个.【答案】【解析】【分析】计算出从正方体的顶点中任取个点的取法种数，减去所取的四点共面的取法种数，由此可得出结果.【详解】正方体的个顶点中任取个共有个，不能组成四面体的个顶点有，已有个面，对角面有个，所以，以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个，故答案为：.例17．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________；【答案】58【解析】【分析】从8个顶点中选4个，排除6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况.【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果，其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况，所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是.故答案为：58.例18．从正方体的6个面的对角线中，任取2条组成1对，则所成角是60°的有________对.【答案】48【解析】【分析】根据题意，由正方体几何结构分析可得：每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，进而可得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，据此分析可得答案.【详解】根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成60°的直线有，，，，，，，，共8条直线，则包含在内的符合题意的对角线有8对；又由正方体6个面，每个面有2条对角线，共有12条对角线，则共有12×8=96对面对角线所成角为60°，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对.故答案为：48【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题.例19．正方体的12条棱的中点和8个顶点共20个点中，任意两点连成一条直线，其中与直线垂直的直线共有________条.【答案】【解析】【分析】作出图形，找出与直线垂直的平面，利用组合计数原理和分类加法计数原理计算出每个截面顶点两两连线的条数，即可得出结果.【详解】如下图所示：连接，四边形为正方形，，平面，平面，，，平面，平面，，同理，，所以，平面，易知与平面平行的平面有：平面、平面、平面、平面，截面、、、均为三角形，此时与垂直的直线有条；截面为六边形，此时与垂直的直线有条.综上所述，与垂直的直线有条.故答案为：.【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查组合计数原理与分类加法计数原理的应用，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．例20．一个正方体的个顶点可以组成__________个非等边三角