专题16圆锥曲线与重心问题一、单选题1．已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．2．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．3．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（）A． B． C． D．4．已知A是双曲线的左顶点，分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是的重心，若，则为（）A． B． C． D．与的取值有关5．设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．6．已知的三个顶点都在抛物线：，且，抛物线的焦点为的重心，则（）A．40 B．38 C．36 D．347．已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（）A．3 B． C．1 D．08．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（）A．2 B． C． D．二、多选题9．椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（）A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是C．取值范围是 D．10．若双曲线，分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（）A．双曲线的离心率为B．点的运动轨迹为双曲线的一部分C．若，，则.D．存在点，使得11．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（）A． B． C． D．12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A．圆上点到直线的最大距离为B．圆上点到直线的最小距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．圆与圆有公共点，则的取值范围是三、填空题13．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点，若为的重心，则该双曲线的离心率为______.14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为________．15．已知，，是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线，，的斜率存在且分别为，，，则______．16．已知抛物线E：y2＝4x，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上的三个动点，其中x1＜x2＜x3且y2＜0，若ABC的重心恰为抛物线E的焦点，且AB、AC、BC三边中点到抛物线E的准线的距离成等差数列，则直线AC的斜率为_____.四、解答题17．在双曲线C：中，､分别为双曲线C的左右两个焦点，P为双曲线上且在第一象限内的点，的重心为G，内心为I.（1）求内心I的横坐标；（2）已知A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点与双曲线C交于M、N两点，若、的斜率、满足，求直线l的方程；（3）若，求点P的坐标.18．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的右焦点与点关于直线对称，问：是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点，使的重心恰好在直线上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.19．若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：.20．已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分.（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.21．已知椭圆离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，且为的重心，探究面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由22．设是以为焦点的抛物线，是以直线与的渐近线，以为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线的标准方程；（2）若与在第一象限有两个公共点，求的取值范围，并求的最大值；（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.