微专题14导数解答题之函数型数列不等式问题秒杀总结1.分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可.2.几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）.3.根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.例1．（安徽省示范高中2021-2022学年高三上学期冬季联赛理科数学试题）已知函数.(1)若对，都有，求实数a的取值范围；(2)若（），其中，且，求证：对任意，都有：.例2．（第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练）已知函数，为常数）.(1)若方程在区间上有解，求实数的取值范围；(2)当时，证明不等式在，上恒成立；(3)证明，.（参考数据：）例3．（第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练）已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)求证：①；②.过关测试1．（安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期11月月考文科数学试题）已知函数．(1)求函数的极值；(2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值；（ii）证明：．2．（重庆市第八中学2022届高三上学期高考适应性月考（四）数学试题）已知函数.(1)若，求的值；(2)证明：对一切均有成立.（其中为自然对数的底数）.3．（第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练）设函数，.(1)若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；(2)设，证明：（为自然对数的底数）.4．（贵州省贵阳市第一中学2022届高三上学期高考适应性月考卷（五）数学（文）试题）已知函数.(1)证明：当时，；(2)证明：.5．（山东省2021届高考考前热身押题卷数学试题）函数，（1），求的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）令函数，求证：.6．（全国2022届高三第一次学业质量联合检测理科数学（老高考）试题）已知函数．（1）求函数的单调区间及最值；（2）证明：，．7．（全国新高考2021届高三数学方向卷试题（A））已知函数，其中，．（1）若，证明：；（2）若单调递增，求a的取值范围；（3）当且时，证明：．8．（山东省济宁市嘉祥县第一中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题）已知函数，，．(1)求的最大值；(2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；(3)证明不等式（其中是自然对数的底数）．