海南中学2024届高三年级第2次检测数学试题与解析卷时间：120分钟满分：150分注意事项：答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，或，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用交集的定义可求得集合.【详解】因为集合，或，因此，.故选：C.2．函数的大致图象为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】分析出在上单调递增，在上单调递减，排除B，C选项，又当时，，求导得到其单调递减函数，再次求导得到函数图象上凸,从而得到A选项正确.【详解】当时，，则，故当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以B，C错误，当时，，，所以在上单调递减，令，则，所以单调递减，函数图象为上凸，故D错误，A正确.故选：A.3．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先将班级均分成4组，然后全排列即可求解.【详解】分两步，第一步将高三8个班级，两两一组分4组，共有种分法，第二步将4位数学老师分配到这4组，共有种情况，所以不同的分派方法有=.故选B【点睛】本题主要考查排列组合交汇的问题，一般先组合后排列，考查逻辑推理能力，属于基础题.4．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级是据震中100千米处的标准地震仪（周期，衰减常数约等于1，放大倍率2800倍）所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式：，其中表示“标准地震振幅”（使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏差），是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅．4.5级地震给人的震感已比较明显，那么6.5级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的（    ）倍．A． B．10 C．100 D．【答案】C【分析】由求得，然后求得6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值.【详解】由于，所以，所以6.5级地震的最大振幅与4.5级地震的最大振幅的比值为：.故选：C5．设，，，则A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用对数的运算性质将化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出的大小．【详解】，且，故选A．【点睛】本题主要考查对数的运算性质以及对数函数的单调性的应用．6．已知函数的图像上恰好有两对关于原点对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：若函数的图像上恰好有两对关于原点对称的点，则问题转化为当时，与直线有两个交点，所以应保证对称轴，且函数的最小值小于-3，即，解得：或，又，所以．考点：1.函数的性质；2.函数的图象；3.分段函数．7．在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言.现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第位发言的是女同学”，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件概率公式计算即可.【详解】由题意，，所以，故选：B8．已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知,因为函数存在减区间,则有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在单调递减,单调递增,所以,因为有解,所以,解得.故选:D.二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】的定义域为，，即直线的斜率，设与垂直的直线的斜率为，则，所以，．故选：AB．10．函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用函数图象变换画出选项A，B，C，D对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，但有3个零点，选项A错误；函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.故选：CD.11．设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【解析】令，即，则为奇函数，当时，，则在区间上单调递增，故在区间上单调递增，则在R上单调递增，∵，即，∴，解得，故A、B正确，C、D错误.故选：AB．12．对于函数，则（    ）A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值C．函数与的图象有两个交点 D．函数有两个零点【答案】AD【解析】，则，因为在恒成立.所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以在处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；根据的单调性，画出函数图像，以及的图象，如图：由此可知，函数与的图象只有一个交点，故C错误；函数有两个零点等价于函数与图像有两个交点，如下图所示：由此可知，函数与图像有两个交点，即函数有两个零点；故D正确.故选：AD.第II卷(非选择题共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．函数的定义域为.【答案】【详解】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为；故答案为.14．函数的最大值为．【答案】【分析】求出给定函数的导数，借助导数求出函数的最大值即可.【详解】在函数中，由得函数的定义域为，当时，，由得：，当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，于是当时，，所以当时，函数的最大值为.故答案为：15．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则.【答案】【分析】根据题意求解可得对称中心，再根据对称中心的性质求解即可.【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，.故答案为：16．设函数，.若在区间上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是_____________________．【答案】【分析】由于，只需在区间上没有零点，分、、讨论，利用的单调性可得答案.【详解】由于，只需在区间上没有零点，由（1）知，①当时，即时，在区间上单调递增，时，，符合题意；②当时，即时，在区间上单调递减，时，，符合题意；③当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，只需即可，所以：，综上，a的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）11.【分析】（1）根据指数幂运算,即可求得答案;（2）根据对数运算,即可求得答案.【详解】（1）（2）18．如果函数在其定义域内存在，使得成立，则称函数为“可分拆函数”．（1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明你的理由；（2）设函数为“可分拆函数”，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）根据“可分拆函数”，验证是否成立，即方程是否有解，化简为一元二次方程后，利用判别式判断出方程无解，也即不是“可分拆函数”.（2）利用列方程，分离出常数的值，即，利用换元法求得右边表达式的取值范围，由此求得的取值范围.【详解】（1）假设是“可分拆函数”，则定义域内存在，使得，即，此方程的判别式，方程无实数解，所以不是“可分拆函数”．（2）因为函数为“可分拆函数”，所以定义域内存在，使得，即且，所以，令，则，所以，由得，即的取值范围是．19．已知指数函数的图象过点．(1)求的解析式；(2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解；（2）首先求出的解析式，令，，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.【详解】（1）由题意，设（，且），∵的图象过点，∴，解得，故函数的解析式．（2）∵，∴，令，因为，所以，∴，，函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，则，即，解得，故实数的取值范围为．20．某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：加盟店个数（个）12345单店日平均营业额（万元）10.910.297.87.1（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.（参考数据及公式：，，线性回归方程，其中，.）【答案】(1)(2)5，6，7(3)【分析】（1）利用最小二乘法求线性回归方程；（2）解不等式得一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率.【详解】（1）由题可得，，，设所求线性回归方程为，则，将，代入，得，故所求线性回归方程为.（2）根据题意，，解得：，又，所以的所有可能取值为5，6，7.（3）设其他5个地区分别为，他们选择结果共有25种，具体如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中他们在同一个地区的有5种，所以他们选取的地区相同的概率.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：.【解析】（1）,，,所以切点为，由点斜式可得，，所以切线方程为：.（2）由题可得，设，，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，即.22．已知函数.(1)当时，讨论在区间上的单调性；(2)若存在使不等式成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2)【分析】（1）先求导，再根据导数的结果将分类，根据导数正负得到单调性；（2）由不等式，将反解，存在，使，所以，求出，即可求出的取值范围.【详解】（1）当时，.所以.令，可得.当或时，；当时，.因此，在和上单调递增，在上单调递减.（2）由不等式，得，则.设函数，因为存在，使，所以.求导得，令，解得舍去，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，且，所以，所以，即实数的取值范围是.