2023学年第一学期高三年级学业质量调研数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果．1.已知集合，若，则实数________．2.若，则=________.3.若，则的最小值为________.4.已知，则=________．5.已知圆锥的底面周长为,母线长为，则该圆锥的侧面积为________.6.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_____.7.若将函数的图像向右平移个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则________．8.已知,数列是公差为的等差数列，若的值最小，则________．9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________．10.若平面上的三个单位向量、、满足，，则的所有可能的值组成的集合为________．11.已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为________．12.已知点在正方体的表面上，到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且到剩下一个平面的距离与到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点的个数为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知，，则下列不等式中不一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）14.某校读书节期间，共名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取人.下列说法正确的是（）（A）高二和高三年级获奖同学共人（B）获奖同学中金奖所占比例一定最低（C）获奖同学中金奖所占比例可能最高（D）获金奖的同学可能都在高一年级15.已知复数、在复平面内对应的点分别为、,（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（）（A）（B）（C）的周长（D）的面积16.已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）①“”是“”的充要条件；②“对任意，都有”是“在上为严格增函数”的充要条件.（A）①真命题；②假命题（B）①假命题；②真命题（C）①真命题；②真命题（D）①假命题；②假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图,在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面,且,设分别为的中点.(1)证明:直线平面；(2)求直线与平面所成的角的正切值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，角所对边的边长分别为，且.(1)若,，求的值；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：男生小青荷女生小青荷会说日语812会说韩语其中、均为正整数,.（1）从这名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率；（2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组、的值，使得事件与相互独立，并说明理由．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点．（1）若，求的值；（2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值；（3）已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知，．（1）若为函数的驻点，求实数的值；（2）若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由；（3）若，是否存在等差数列，使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．参考答案与评分标准一.填空题1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．.二.选择题13．C；14．D；15．A；16．C．M三. 解答题17．(1)[证明]连接,为正方形且为的中点，为的中点，又为中点，.…………………………………2分又不在平面上,平面，平面.………………………………………6分(2)[解]，,为等腰直角三角形，取中点,由等腰三角形性质可知,………………………………8分又平面平面，平面平面，,……………………………………………10分连接,则为直线与平面所成的角，………………………12分由，可得,直线与平面所成的角的正切值为.……………………………14分18．[解](1)将,带入条件中可得，………………………2分由余弦定理可得；…………………………6分(2)，由正弦定理可得,………8分,,，……………………10分,所以,即,…………………12分又因为为锐角三角形，,.………………14分19．[解]（1）从这名小青荷中随机抽取两名的方法数为，……………………2分抽取的两名都不会说日语的方法数为，………………………………4分因此，抽取的两名中至少有一名会说日语的概率为；………………6分（抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为给2分）（2）当、时，事件与相互独立，……………………………8分理由如下：从这些小青荷中随机抽取一名，事件发生的概率，事件发生的概率，…………………………………10分事件与同时发生的概率，…………………………12分，因此，事件与相互独立.…………………………………14分（其它答案：当、时，，，；当、时，，，.）（2）[另解]从这些小青荷中随机抽取一名，事件发生的概率，事件发生的概率，…………………………8分事件与同时发生的概率，…………………………10分若事件与相互独立，则，整理得，…………………………12分所以可取、或、或、.……………14分(学生只需写出三种情况中的一种即可)20．[解]（1）联立，由点在第一象限，得，…………………………2分由，得，所以；……4分 （2）曲线和关于直线对称，取关于的对称点，则在曲线上，………………6分，又因为，所以只需求到上动点的距离的最小值，令，则，………8分当时，的最小值为，所以（当，时）的最小值为．…10分（3）由（1）可得，（），，（），…………………………12分因此当时，，当时，，………………………………………14分由，得，……………………………………………16分解得．……………………………………………18分21．[解]（1）由题意，…………………2分由为函数的驻点，得，因此；……………………………………………4分（2）当时，，，………………………………………………6分原问题等价于是否存在，使得，令因为函数在区间上是一段连续曲线，且，，……………………………………………8分由零点存在定理，存在，使得，即曲线存在切线与直线互相垂直；……………………10分（3）当时，，，假设存在等差数列满足题意，则，即，将代入上式得，，………………………12分即，令，……………14分则，因此函数在上为严格减函数，…………………………………16分由题意，，所以，即．因此，不存在等差数列满足题目条件．……………18分