2023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2Axx4Bxylog2x1.若集合，，则AB（）A2,2B.0,2C.0,2D.2,.2.已知复数z满足z1i22i（i是虚数单位），则z的虚部为（）AB.2iC.D..222i3.设平面向量a，b均为单位向量，则“a2b=2a+b”是“ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A.0.48B.0.32C.0.82D.0.685.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是（）A.1:10B.1:5C.2:10D.2:51516.等差数列an各项均为正数，首项与公差相等，3，则a2023的值为（）k1akak1A.6069B.6079C.6089D.6099第1页/共27页学科网（北京）股份有限公司217.已知函数f(x)lnx21x2，正实数a,b满足f(2a)f(b2)4，则的最小值为（）ab9A.5B.C.4D.92fx2x8.已知函数fx在R上都存在导函数fx，对于任意的实数e，当x0时，fxfln21fxfx0，若a，bef1，c5fln，则a,b,c的大小关系是（）25A.acbB.cbaC.cabD.abc二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分．9.若ab且ab0，则下列结论成立的是（）11A.B.a3b3C.aabbD.2a3bab10.函数fxsinx0,的图象如图所示，则（）2A.2B.65C.对任意的x都有fxf12D.fx在区间,上的零点之和为32211.已知Ax1,y1，Bx2,y2是圆O：xy1上两点，则下列结论正确的是（）1A.若点O到直线的距离为，则AB2|AB|33πB.若AOB的面积为，则AOB43若1，则点到直线的距离为3C.x1x2y1y2OAB22第2页/共27页学科网（北京）股份有限公司的最大值为，最小值为D.x1y11212112.在正四棱锥PABCD中，AB2，PA3，点Q满足PQPAxAByAD，其中x0,1，y0,1，则下列结论正确的有（）A.PQ的最小值是2B.当x1时，三棱锥PADQ的体积为定值πC.当xy时，PB与PQ所成角可能为630D.当xy1时，AB与平面PAQ所成角正弦值的最大值为6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．213.若命题“x1,3,xax10”是假命题，则实数a的最大值为______．14.已知向量a2，b在a方向上的投影向量为3a，则ab_______.15.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉，这称为“一次分形”；再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L.依次进行“n次分形”（nN*）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正三角形“n次分形”后所得分形图的长度不小于120，则n的最小值是______.（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）2lnx,x1已知函数，令，当2时，有，则；16.fx3gxfxkxkegx00x0______x2x,x1若函数gx恰好有4个零点，则实数k的取值范围为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文第3页/共27页学科网（北京）股份有限公司字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC中，A，B，C的对边别为a，b，c，若acosC3asinCbc0.（1）求角A；（）若，33，求a2bc4S△.ABC4n18.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn22an1.（1）求数列an的通项公式；ann1n*（2）求数列13nN的前n项和Tn.2n19.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AD//BC，ABBC．点M在棱PB上，2PM2MB，点N在棱PC上，PAABADBC2．3（1）若CN2NP，Q为PD的中点，求证：NQ//平面PAB；2PN（2）若直线PA与平面AMN所成角的正弦值为，求的值．3PC20.如图，半径为1的光滑圆形轨道圆O1、圆O2外切于点M，点H是直线O1O2与圆O2的交点，在圆形轨道O1、圆O2上各有一个运动质点P，Q同时分别从点M、H开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点P，Q运动的角速度之比为2：1，设点Q转动的角度为，以O1为原点，O1O2为x轴建立平面直角坐标系．π2（1）若为锐角且sin，求P、Q的坐标；410第4页/共27页学科网（北京）股份有限公司（2）求PQ的最大值．x221.已知椭圆C:y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆a2M:x2y26x2y70相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过点A的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，若kAPkAQ2，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标.222.已知函数fx2axx2lnx.（1）若fx在定义域内单调，求实数a的取值范围；5（2）若a，m，n分别为fx的极大值和极小值，求mn的取值范围.22023-2024学年度12月学情调研试卷高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2Axx4Bxylog2x1.若集合，，则AB（）A.2,2B.0,2C.0,2D.2,【答案】C【解析】【分析】解二次不等式和对数函数的性质化简集合A,B,再取交集即可得解.2【详解】由x24，可得2x2，所以Axx42,2，由对数函数的性质得Bxylog2x0,，则AB(0,2].故选：C.2.已知复数z满足z1i22i（i是虚数单位），则z的虚部为（）第5页/共27页学科网（北京）股份有限公司A.2B.2iC.2D.2i【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算求得z，进而求得z，由此得解.【详解】因为z1i22i，22i21i1i所以z2i，1i1i1i则z2i，所以z的虚部为2.故选：A.3.设平面向量a，b均为单位向量，则“a2b=2a+b”是“ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】将a2b=2a+b两边平方，化简后即可得ab，由此即可选出答案.2222【详解】因为a2b=2a+ba4ab+4b=4a+4ab+bab=0ab，所以“a2b=2a+b”是“ab”的充分必要条件，故选：C.4.北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）第6页/共27页学科网（北京）股份有限公司A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68【答案】D【解析】【分析】根据题意直接求解出椭圆的实半轴长和半焦距，进而求解.【详解】由题意可知椭圆实轴长2a20086002174012280，所以a6140，焦距2c2a(2001740)21228038808400，所以c4200，c4200所以椭圆的离心率e0.68，a6140故选：D.5.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是（）A.1:10B.1:5C.2:10D.2:5【答案】A【解析】【分析】设圆锥母线长为l，小圆锥半径为r、高为h，大圆锥半径为R，高为H，根据侧面积之比可得R2r，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到l3r，利用勾股定理得到h,H关于r的表达式，从而将两个圆锥的体积都表示成r的表达式，求出它们的比值即可.【详解】设圆锥母线长为l，侧面积较小的圆锥半径为r，侧面积较大的圆锥半径为R，它们的高分别为h、H，则πrl:(πRl)=1:2，得R2r，因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，r+R所以2π=×2π，得l3r，l再由勾股定理，得hl2r222r，同理可得Hl2R25r，所以两个圆锥的体积之比为：1212πr22r:π4r5r1:10.33故选：A.第7页/共27页学科网（北京）股份有限公司1516.等差数列an各项均为正数，首项与公差相等，3，则a2023的值为（）k1akak1A.6069B.6079C.6089D.6099【答案】A【解析】【分析】设等差数列an的公差为d，结合等差数列的通项公式，利用裂项相消法化简方程求出d，由此得解.【详解】设等差数列an的公差为dd0，因为首项a1与公差d相等，所以ana1n1dnd，1aa1151因为k1k，3，ak1akakak1ak1akdk1akak1151113d所以a16a1(16dd)3，所以d3，k1akak1ddd所以a20232023d202336069，故选：A．217.已知函数f(x)lnx21x2，正实数a,b满足f(2a)f(b2)4，则的最小值为（）ab9A.5B.C.4D.92【答案】B【解析】【分析】先判断函数的对称性与单调性，从而得到2ab2，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为f(x)lnx21x2，所以fxfxlnx21x2lnx21x24，故函数fx关于0,2对称；又fx的定义域为R，fxlnx21x2，所以由复合函数的单调性可判断fx在R上单调递增；又f(2a)f(b2)4，所以2ab20，即2ab2，第8页/共27页学科网（北京）股份有限公司2112112b2a12b2a9又