汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）（命题学校：城固县第一中学）本试卷共23小题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题共60分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知，则复数z的虚部为（）A.B.C.D.3.已知向量，，若与共线且同向，则实数的值为（）A.2B.4C.-2D.-2或44.已知一平面截某旋转体，截得的几何体三视图如图，则该截得几何体的体积为（）A.B.C.D.5.已知，则（）A.B.C.D.6.将数据1，3，5，7，9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（）A.B.C.D.7.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.“，”是“”的必要不充分条件C.命题“，”的否定形式是“，”D.“”是“”的充分不必要条件8.已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（）A.-4B.4C.D.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴､音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则使得该函数单调递增的区间可以是（）A.B.C.D.11.如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形OCMN的面积等于8，则E的方程为（）A.B.C.D.12.已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知的展开式中含有项的系数是54，则______.14.函数，则______.15.已知中，，，，则的外接圆面积为______.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，当正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等差数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前2n项和.18.（12分）佩戴头盔是一项对家庭和社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2019202020212022年度序号x1234不戴头盔人数y125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并估算该路口2023年不戴头盔的人数；（2）交警统计2019~2022年通过该路口的骑电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表.能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：，0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.19.（12分）如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面ABC上的射影为BC边的中点O.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20.（12分）已知椭圆经过点，点为椭圆C的右焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线，，直线与椭圆相交于､两点，直线与椭圆相交于､两点，求四边形的面积S的最小值.21.（12分）已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若方程的根为､，且，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中曲线的参数方程为（为参数），M是上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线.（1）求的参数方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，将曲线､的方程转化为极坐标方程后，求.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数，.（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得成立，求a的取值范围.汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学（理科）参考答案一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案ADCADCBACBBC二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.414.1115.16.三､解答题：共70分.解答题写出文字说明､证明过程和演算步骤.第17~21题是必考题，每个考生都必须作答.第22､23题是选考题，考生根据情况作答.（一）必考题：共60分.17.解：（1）设公差为，依题意得，解得，所以.（2）因为.所以.18.解：必过样本点回归直线方程为年不戴头盔的人数为：人.（2）列联表如下：不戴头盔戴头盔总计伤亡7310不伤亡：132710句总计203050有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.19.（1）证明：因为是边长为4的正三角形边的中点，所以因为顶点在平面上的射影为，所以平面.因为平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.因为是边长为4的正三角形，为边的中点，所以在直角三角形中，.所以.所以.在三棱柱中，由可求得：.同理求得：.所以.设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量.因为，即不妨设，则.同理可求.设为二面角的平面角，由图可知：为锐角，所以.即二面角的余弦值为20，解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）设直线的方程为，联立得：，设，则所以同理可得，则，当且仅当，即时取等号.所以四边形的面积的最小值为.21.解：（1）因为，所以定义域为，所以在上单调递减，即的单调递减区间为，无单调递增区间；（2），当时，当时所以在上是单调递减，在上单调递增，则当时，，所以，且，当时，，所以，即，设宦线与的交点的横坐标为，则，下面证明当时，，设则当时，，当时，所以在上是减函数在上增函数，又因为，所以当时，，故当时，，设直线与的交点的横坐标为则，所以，得证.（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.（1）设，由于点满足，所以，由于点在上，所以整理得的参数方程（为参数）.（2）曲线的参数方程转换为极坐标方程为，曲线的参数方程转换为极坐标方程为，直线转换为极坐标方程为.所以，，解得，同理，解得，故23.（1）当时，或或即或，或故或.（2）由题得：，当时，恒成立；当时，可知，得；当时，同理，得.综上，的取值范围为.