商洛市2024届高三第一次模拟检测数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2､请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第Ⅰ卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.（）A.B.C.D.3.在中，角的对边分别是，若，则（）A.B.或C.D.或4.已知，则（）A.B.C.D.5.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（）A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为6.已知，则（）A.B.C.D.7.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（）A.B.C.D.8.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.已知函数在上单调递增，则的最大值是（）A.0B.C.D.310.已知某比赛在这4支队伍之间进行，且队伍有一名主力队员缺席，导致队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则这2支队伍都进入前3名的概率是（）A.B.C.D.11.已知是直线与函数图象的两个相邻交点，若，则（）A.4B.4或8C.2D.2或1012.在正四棱台中，，点在底面内，且，则的轨迹长度是（）A.B.C.D.第II卷二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量满足，则向量的夹角是__________.14.已知实数满足约束条件.，则的最大值为__________.15.在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.16.过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，则的离心率为__________.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.（12分）镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率.19.（12分）如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，且为棱的中点.（1）证明：平面.（2）若，求点到平面的距离.20.（12分）已知点，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.21.（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知直线，在第一象限内，直线与曲线交于点，与直线交于点，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.商洛市2024届高三第一次模拟检测数学试卷参考答案（文科）1.C由题意可得.2.B.3.A由正弦定理可得，则，则或.因为，所以，则.4.D因为，所以.5.C我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为，.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为错误.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.正确.6.B因为，所以，所以，则.7.D设，则，故直线的斜率.8.B因为是定义在上的增函数，所以解得.9.A由题意可得.因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立.设，则.当0时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即.10.C这4支队伍按排名先后的情况有，，共12种，其中这2支队伍排在前3位的情况有，共8种，故所求概率.11.D设的最小正周期为，则或，即或，解得或.12.B如图1，连接，作，垂足为，易证平面.因为，所以，则.因为点在底面内，且，所以.以为圆心，为半径画圆，如图2，则是的轨迹.分别作，垂足分别为.由题意可得，则，从而，故的轨迹长度是.13.因为，所以.因为，所以，则，故向量的夹角是.14.4画出可行域（图略），当直线经过点时，取得最大值，且最大值为4.15.如图，取线段的中点，连接.易证，则是异面直线与所成的角或其补角.设，则，从而.在中，由余弦定理可得.16.2设为坐标原点，的焦距为.过点作垂直于轴，垂足为（图略）.易得，则由，得，所以，得，所以，故.17.解：（1）设数列的公差为，由题意可得解得.故.（2）由（1）可得，则，从而.因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列.由等比数列的前项和公式可得.18.（1）解：因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内.设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取2颗，分别记为；从质量在内的板栗中抽取颗，分别记为.从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有，共10种，其中符合条件的情况有，共7种，故所求概率.19.（1）证明：由三棱柱的性质可知.因为平面，所以平面.因为平面，所以.因为为的中点，且是等边三角形，所以.因为平面，且，所以平面.（2）解：因为，所以，则的面积.作，垂足为，易证平面.因为是等边三角形，所以，则.因为平面，所以，则，故的面积.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.因为，所以，所以.20.解：（1）因为，所以是以为焦点，且长轴长为4的椭圆.设的方程为，则，可得.又，所以，所以的方程为.（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线.联立整理得，则，.由弦长公式可得.点到直线的距离，则的面积设，则.因为，所以，所以，当且仅当时，.21.（1）解：.故曲线在点处的切线方程为.（2）证明：由（1）得.令函数，则，所以是增函数.因为，所以存在，使得，即，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以，所以.故.22.解：（1）由（为参数），得，即则曲线的极坐标方程为.（2）联立解得或（舍去）.联立解得.故.23.解：（1）等价于或解得，即不等式的解集为.（2）恒成立，即恒成立.因为，所以，解得或，即的取值范围是.