2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（一）机密★启用前试卷类型：A2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷共4页，共22小题，满分150分。考试用时90分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。─、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合AxZ|1x2，则集合A的非空真子集有（ ）个A．5B．6C．7D．8112．已知x24y24，则的最小值为（ ）x2y259A．9B．C．D．1243．已知向量a，b满足a1，2，b2，1，则ab（ ）A．10B．5C．3D．42xsinx4．函数fx(e为自然对数的底数)在2，2的大致图象是（ ）exexA．B．1/10C．D．ππ5．函数fxcosx，x，的最小值为（ ）363311A．B．C．D．22226．下列与120角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）2ππA．2kπkZB．kπkZ332ππC．kπkZD．2kπkZ337．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”18．已知alg，b30.1，csin3，则（ ）3A．abcB．bcaC．bacD．cbax3，x0．fxfx89已知函数x，若，则x＝（ ）2，x0A．－3B．－2C．3D．3或－210．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第70百分位数是（ ）A．86B．85.5C．85D．84.511．已知ab0，则“m0”是“ambm”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个电话打给甲的概率是（ ）1112A．B．C．D．6323二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。2/1012i13．若复数z，则z .13i14．已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα= .15．若一个圆锥的轴截面是面积为3的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 .16．某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了 人．x117．已知函数fx4log4x，则f ．2318．已知a1，b2，ab，则aba2b ．2三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。119．在AABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB3，cosC，且b36.3（1）求cosA的值；（2）求AABC的面积；20．某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，22记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为x和y，方差分别为s1和s2．A（单位：kg）60504560708080808590B（单位：kg）4060608080558080709522（1）求x，y，s1，s2；（2）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由．3/1021．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间满足关系式sax2bx，其中a，b为常数．试验测得如下数据：车速xkm/h20100刹车距离sm355（1）求a，b的值；（2）请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．22．四棱锥SABCD的底面为正方形，E为SD的中点．（1）证明：SBA平面ACE；（2）若SA平面ABCD，证明：SCBD．4/10答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由AxZ|1x2，可得A0，1，2，所以集合A的非空真子集个数为2326.故答案为：B.【分析】根据已知条件，得到集合A0，1，2，再根据非空真子集个数的计算公式求解即可.2．【答案】C11114y2x24y2x2【解析】【解答】解：由题意可得：22422x4y2222522259xyxyxyxy，4y2x24当且仅当，即x22y2时，等号成立，x2y23119119所以，即的最小值为.x2y24x2y24故答案为：C.【分析】根据题意将两式相乘，结合基本不等式运算求解.3．【答案】A2【解析】【解答】解：由题意得ab1，22，11，3，ab13210.故答案为：A.【分析】先求出ab1，3，再根据向量模长公式求ab.4．【答案】B2xsinx2xsinx【解析】【解答】解：由题，f(x)的定义域为R，fxfx，exexexex所以f(x)是偶函数，故排除AC，4sin2又f20，故排除D.e2e2故答案为：B.5/10【分析】利用函数的奇偶性结合特殊点的函数值判断即可.5．【答案】Dππ【解析】【解答】解：因为fxcosx在，0上单调递增，在0，上单调递减，36π1π3ππ1且f，f，所以函数fxcosx，x，的最小值为.3262362故答案为：D.【分析】根据余弦函数单调性分析求解.6．【答案】A2π2π【解析】【解答】解：因为120，所以与120角的终边相同的角的表达式为2kπkZ.33故答案为：A.【分析】利用角度制与弧度制的互化公式，结合终边相同的角的特征可得答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：黑球的个数有三种可能：0，1，2；对于A：“恰好一个黑球”和“恰好有两个黑球”不会同时发生，即为互斥事件；但还有可能没有黑球，故不对立，故A正确；对于B：“至少一个黑球”即为1个或2个黑球，它的对立事件为“没有黑球”，即“都是红球”，所以“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故B错误；对于C：“至少有一个红球”即为0个或1个黑球，与“至少一个黑球”都包含1个黑球，故两者不互斥，故C错误；对于D：“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，故故两者不互斥，故D错误；故答案为：A.【分析】根据题意结合互斥事件、对立事件的概念分析判断.8．【答案】B1【解析】【解答】a=lg＜lg31=0，b=30.1＞30=1，sin3＞0，sin3＜1，0＜c＜1，所以b＞c＞a.3故答案为：B．【分析】根据对数函数性质、指数函数性质、正弦函数有界性可求解a、b、c的范围，即可求解.9．【答案】C6/10【解析】【解答】x0时f(x)=x3<0，不可能有fx8；x>0时f(x)=2x=8，解得x=2；故选：C.【分析】根据分段函数分两段讨论fx8的可能性和取值.10．【答案】B【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，又85861070%7，这组数据的第70百分位数是85.5.2故答案为：B.【分析】先将这组数据从小到大排列，再根据百分位数定义求解.11．【答案】C【解析】【解答】解：因为ab0，由“m0”可得“ambm”，即充分性成立；由“ambm”可得“m0”，即必要性成立；所以“m0”是“ambm”的充要条件.故答案为：C.【分析】根据不等式的性质结合充分、必要条件分析判断.12．【答案】B【解析】【解答】解：因为打电话的顺序是任意的，所以甲、乙、丙三人打电话，第一个打电话为甲的概率为1.3故答案为：B.1【分析】根据已知条件可知，甲、乙、丙三人打电话的顺序任意，打电话给甲乙丙的概率都是.3213．【答案】212i12i13i55i1112122【解析】【解答】解：zi，|푧|=‒+=.13i13i13i1022(2)(2)27/102故答案为：.2【分析】根据复数的四则运算与复数模的运算公式求解即可.314．【答案】533【解析】【解答】解：由题意得cos.324253故答案为：.5【分析】根据三角函数定义求解.15．【答案】2π【解析】【解答】解：由题意可知：设圆锥的底面半径r，则母线长为2r，13则2r2r3，解得r1，22所以该圆锥的侧面积为π122π.故答案为：2π.【分析】根据题意设圆锥的底面半径r，则母线长为2r，结合面积关系可得r1，再利用圆锥的侧面积公式分析求解.16．【答案】30【解析】【解答】解：本地区中小学生总人数30006000600015000，设高中生中抽取了x人，根据分150x层抽样原理得，求得x30.150003000故答案为：30.【分析】根据分层抽样原理计算求解.317．【答案】2x【解析】【解答】解：因为fx4log4x113则f22228/103故答案为：.2【分析】利用指数与对数运算法则求解1118．【答案】2311【解析】【解答】解：由题意可得：aba2ba2ab2b21222.2211故答案为：.2【分析】根据题意结合数量积的运算律运算求解.π19．【答案】（1）解：tanB3，0Bπ，B.3122cosC，0Bπ，sinC1cos2C.33π11322261cosAcosBCcosC.3232362236bcbsinC（2）解：由正弦定理可得c38.sinBsinCsinB32π31122322sinAsinBCsinC，32323611322所以AABC的面积SbcsinA8366283.AABC226【解析】【分析】(1)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求解；(2)先求出sinA，再利用三角形的面积公式求解.120．【答案】（1）解：x(45506060708080808590)70，10212222222s1252021003101520215，101y(4055606070808