2024年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学命题：___________主审：___________本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交并补即可求解.【详解】由题知，故选：A.2.设复数满足，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法解出，由模长公式计算.【详解】由解得，所以.故选：C.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求在处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.【详解】由题知，切线方程为，即，故选：B.4.已知单位向量满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】由得，又为单位向量，，，.故选：B.5.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（）A.8 B.9 C.10 D.100【答案】C【解析】【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为，由题意得且，可求.【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为，则由题知，每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，有，则是首项为1公差为1的等差数列，，所以，得.故选：C.6.如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（）A8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】【分析】根据分步分类计数原理即可求解.【详解】中途共三次转向可以分为两类:第一类，先向北走再往东走的情况，即第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有种方法，第二类，先向东走再往北走的情况上右上，此时共有种方法.故总的方法有24种，故选：D.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得，由辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由得，进而可得，结合辅助角公式得，则，故选：B.8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】观察选项，构造函数，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.【详解】令，则，当时，；当时，；所以在上单调递增；在上单调递减，所以且，所以且，即且，所以，又，所以，综上所述，，故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可.【详解】由题知解得，A选项正确；所以，B选项正确；，C选项正确；，D选项错误.故选：ABC.10.已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（）A.实轴长为4 B.双曲线为等轴双曲线C.离心率为 D.渐近线方程为【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.【详解】设该双曲线标准方程为，则.对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，可解得，符合题意；对于C选项，由双曲线离心率大于1知，不合题意；对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，故选：ABD.11.如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（）A.B.C.函数在上单调递减D.若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为【答案】ACD【解析】公众号：高中试卷君【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项.【详解】令得，或，，由图可知：，，，所以，，所以，所以，故A选项正确，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B错误.当时，，因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），为偶函数得，，所以，，则的最小值为，故D正确.故选：ACD.12.正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（）A. B. C.2 D.【答案】BD【解析】【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.【详解】设该正方体为，且其棱长为，若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.①若中间的两个平面为平面和平面，如图1所示，则过作截面，截面图如图2所示，其中分别为中点，则，设相邻两平面间距离即为A到的距离，可得，解得，即相邻两平面间距离即为A到的距离，可知，解得；②若中间的两个平面如图3所示，过作截面，截面图如图4所示，其中分别为中点，则，设相邻两平面间距离即为到距离，可得，解得，即相邻两平面间距离即为到的距离，则，解得；故选：BD.【点睛】方法点睛：根据题意分类讨论平面的位置分布，结合正方体的结构特征以及截面分析求解.第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中常数项的二项式系数为__________.【答案】20【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求得答案.【详解】此二项式展开式的通项公式为，，则当时，对应的为常数项，故常数项的二项式系数为，故答案为：20.14.已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________.【答案】3【解析】【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解,由抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】由题知，设，其中，则由于点是抛物线上到点距离最近的点，，故答案为：3.15.的一个充分不必要条件是__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.【详解】因为时，由可得,故的一个充分不必要条件是，故答案为：（答案不唯一）16.已知是半径为1的球面上不同的三点，则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据数量积的几何意义结合二次函数的性质即可求解.【详解】是球面上不同的三点，不共线，故平面截球面得到的是一个圆，记此圆半径为，当且仅当平面过球心时，.在半径为的圆中，对于任意的弦，过作于,由向量数量积的几何意义知，当在如图所示的位置时，取最小值，则的最小值为，当时，取最小值，又的最大值为1，故所求最小值为.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量计算；（2）根据对数运算求得，由得证.【小问1详解】设的公比为，由知，，由得，.【小问2详解】证明：由题知，所以，.18.在中，角所对的边分别为，且.（1）求证：；（2）当取最小值时，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.（2）利用基本不等式求得的最小值时的取等条件，再结合余弦定理从而求解.【小问1详解】证明：由余弦定理知，又因为，所以，化简得，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以或（舍），所以.【小问2详解】由题知，，当且仅当时取等，又因为，所以，所以.19.如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.（1）求证：；（2）若平面，求的值；（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】证明：过作直线于，连接.由题知，，即，又平面,平面，又平面，，即【小问2详解】方法一：平面平面，平面平面，平面平面.以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正方向建立空间直角坐标系，如图，则.平面.为中点，由题知设，，，又在中，，所以.方法二：平面.设，由知，.平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又，平面.【小问3详解】由（2）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则令则，，平面与平面所成角的余弦值为.20.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：①用户选择甲公司的频率为，选择乙公司的频率为：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为；③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为；④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司网约车出行？并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析【解析】【分析】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：设事件用户选择甲公司的网约车出行，事件用户对等待时间满意，事件用户对乘车舒适度满意，事件用户对乘车费用满意.则，，所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.【小问2详解】解：由题知，，，所以，，故该用户选择乙公司出行的概率更大.21.已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解得椭圆方程；（2）设直线方程，证明后知平分对角线得四边形为平行四边形.【小问1详解】由题知解得.故椭圆的方程为.【小问2详解】方法一：显然直线不能水平，故设直线方程为，设，由得，令得，.所以，令，得.故直线方程为，直线方程为.由得，将中换成得.，为线段中点，又为中点，四边形为平行四边形.方法二：设.直线方程为