数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷:选择题（60分）一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.已知a实数，若（i为虚数单位），则（）A.1 B. C. D.3.已知锐角满足，则（）A. B. C.2 D.34.已知向量满足，且，则等于（）A. B. C. D.75.已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（）A. B. C. D.6.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值为( )A. B. C. D.7.设，，，则（）A. B. C. D.8.抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则（）A.49 B.68 C.32 D.52二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置．9.已知数列的前n项和为，且(其中a为常数)，则下列说法正确的是（）A.数列一定是等比数列 B.数列可能是等差数列C.数列可能是等比数列 D.数列可能是等差数列10.以下四个命题表述正确是（）A.直线恒过定点；B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.曲线与曲线恰有三条公切线，则D.若双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为．11.如图，棱长为1正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.直线与所成的角可能是B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形12.已知函数，其中为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A.函数的极值点为1B.C.若分别是曲线和上的动点.则的最小值为D.若对任意的恒成立，则的最小值为第Ⅱ卷:非选择题（90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线3x＋4y－8＝0被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为，则a＝______．14.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______.15.已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______．16.已知抛物线的焦点到准线的距离为，为坐标原点，点在抛物线上，平面上一点满足，则直线斜率的最大值为_______.四、解答题（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分）17.已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.已知函数.（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求acosB﹣bcosC的取值范围.19.已知圆C：x2+y2﹣4y+1＝0，点M（﹣1，﹣1），从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点T．（1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点且|AB|＝2，求直线l的方程；（2）若满足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标．20.如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点．（1）证明：；（2）若二面角余弦值为，求的值．21.已知曲线C上任意一点到点的距离比它到y轴的距离大2，过点的直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在A，B处的切线交于点M，求面积的最小值．22.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷:选择题（60分）一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合，，从而求出，由此能求出．【详解】解：全集，集合或，，，．故选：．2.已知a为实数，若（i为虚数单位），则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，根据题中条件计算即可得出结论.【详解】解：，.故选：D【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算，属于基础题.3.已知锐角满足，则（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值.【详解】∵，∴，即，又∵为锐角，∴，∴，即，∴.故选：A4.已知向量满足，且，则等于（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】【分析】根据方程组求出，，再分别求它们的模，相加即可.【详解】由得：，又，，∴，.所以.故选：B5.已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据柱体外接球的特点可知，该正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处，再根据勾股定理即可求出外接球的半径；由正三棱柱的性质可知，当球半径是底面正三角形内切圆的半径时，该内切球的半径最大，由此即可求出该内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求出结果.【详解】设正三棱柱，取三棱柱的两底面中心，，连结，取的中点，连结，则为正三棱柱外接球的半径．∵是边长为的正三角形，是的中心，∴．又∵，∴．∴正三棱柱外接球的表面积．根据题意可知，当球半径是底面正三角形内切圆的半径时，此时正三棱柱内的球半径最大，即，所以正三棱柱内半径最大的球表面积为，所以该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为.故选：A.【点睛】方法点睛：①一般地，柱体的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处；②柱体的内切球的半径为其中截面内切圆的半径.6.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据题中所给的条件，画出对应的图形，在中，利用余弦定理求得BC，然后根据正弦定理求得，则可得，进而利用，根据正弦函数的两角和公式解决.【详解】本题考查正余弦定理的应用及两角和与差的正弦公式．在三角形ABC中，由AC＝10，AB＝20，∠CAB＝120°.由余弦定理可得BC＝10.又由正弦定理可得＝⇒＝⇒sin∠ACB＝.故sinθ＝sin＝×＋×＝.【点睛】该题考查的是利用正余弦定理解决海上救援的问题，在解题的过程中，注意正确分析题中的条件，熟练掌握正余弦定理，将所涉及到的量代入对应的式子正确求解即可.7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判断这三个数与1的大小，确定最小；对、先开方，再利用函数，的单调性判断他们的大小.【详解】∵，，，∴最小.设，则，因为，所以，所以在上为增函数.又，所以，即即，所以.综上可得：.故选：D【点睛】（1）先把，开方，利用函数的单调性比较是难点.（2）也可以先把，取自然对数：，，然后利用函数的单调性来比较它们的大小.8.抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则（）A.49 B.68 C.32 D.52【答案】A【解析】【分析】将P坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数p,利用导数几何意义求得两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，表示为A,B的纵坐标的关系式，求得|AF||BF|关于A,B纵坐标的表达式.【详解】由P在双曲线上，将P点坐标代入双曲线的方程，，∴双曲线的方程为，双曲线的焦点在y轴上，∴,∴,双曲线的焦点坐标为,抛物线的焦点坐标为,∵抛物线与双曲线的焦点重合，∴，∴抛物线的准线为，，抛物线的方程为,即,,设,切线PA,PB的斜率分别为,切线方程分别为将P的坐标及,代入，并整理得,,可得为方程的两个实数根，由韦达定理得,=,故选:A.【点睛】本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦达定理的灵活运用.二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置．9.已知数列的前n项和为，且(其中a为常数)，则下列说法正确的是（）A.数列一定是等比数列 B.数列可能是等差数列C.数列可能是等比数列 D.数列可能是等差数列【答案】BD【解析】【分析】由和的关系求得，，分类讨论a是否为0，判断选项正误.【详解】因为，当时，，得，将代入，得，，即，当时，，不是等比数列，是等差数列，，也是等差数列；当时，是以为首项，2为公比的等比数列，不是等比数列；故答案为：BD.10.以下四个命题表述正确的是（）A.直线恒过定点；B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.曲线与曲线恰有三条公切线，则D.若双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为．【答案】BCD【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得判断C；求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆所截得的弦长为，结合弦心距和勾股定理，即可求出双曲线的离心率，即可判断选项D是否正确．【详解】由，得，联立，解得，∴直线恒过定点，故A错误；∵圆心到直线的距离等于，∴直线与圆相交，而圆的半径为，故到直线距离为的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于，故B正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，曲线化为标准式，圆心距为，解得，故C正确；双曲线的一条渐近线方程为，圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为：，又圆的半径为，所以，解得，所以，即，所以离心率为，故D正确．故选：BCD.【点睛】方法点睛：与圆有关的线段长问题，一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距离公式求解，而是应用几何方法去求解．方法是：直线与圆相交时，若为弦长，为弦心距，为半径，则有，即，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．11.如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.直线与所成的角可能是B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形【答案】BCD【解析】【分析】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D1P与AC所成的角为；对于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，从而平面D1A1P平面A1AP；对于C，三棱锥D1﹣CDP的体积为定值；对于D，当AP延长线交BB1的中点时，可以得到等腰梯形的截面．【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，，设当时，；当时，，,∴,,∴直线D1P与AC所成的角为，故A错误；对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正确；对于C，，P到平面CDD1的距离BC＝1，∴三棱锥D