2024CEE-01数学重庆缙云教育联盟2024年高考第一次诊断性检测数学参考答案一、选择题1．A 2．D 3．C 4．C5．A 6．C 7．A二、多项选择题8．BCD 9．ACDE 10．ACE三、填空题11． 12．13． 14．四、解答题15．解：（1）由余弦定理形式和，因此．又，即，由正弦定理得：，整理得：，．，，，．（2）由，得，得．在△ACD中，由余弦定理得，为的中点，，即，（其中），．由正弦定理得，，，即．，由，可得；，．16．解：（1）因为，，所以即，①当时，②②①得：即，当时，，所以，所以是以2为首项，为公比的等比数列，所以，又因为，所以当时，；当时，，综上所述：.（2）因为，，由题意知：，所以，假设在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则，即化简得：，又因为m，k，p成等差数列，所以，所以即，又，所以即，所以，这与题设矛盾.所以在数列中不存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.17．解：（1）由，得函数的定义域为，又，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得；令，得；所以，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由，得，故欲证，只需证：，即证，又，，，不妨设，，等价于，令（），等价于（），，所以在单调递增，而，所以，当时，恒成立.所以，所以.（3）函数有两个零点，，所以，，不妨设，，即，要证：，需证：只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，只需证：，令，，所以在上单调递减，所以，即，故.也可由对数均值不等式（），即，令（），则，即，所以.18．解：（1）由题意得，易知，  由椭圆定义可知，动点在以，为焦点，且长轴长为的椭圆上，又不能在直线上，∴的方程为：．（2）（2）(i)（法一）设，，，易知直线的方程为，联立，得，∴，∴，，即，同理可得，，∴，欲使，则，即，∴，∴存在唯一常数，使得当时，．（法二）设，，，易知的斜率不为零，否则与重合，欲使，则将在轴上，又为的中点，则轴，这与过矛盾，故，同理有，则，可得，易知，，且，，∴，即，同理可得，，欲使，则，∴，∴，∴存在唯一常数，使得当时，．(ii)由(i)易知，且，∴，即，同理可得，，∵，∴，记，∴，当且仅当，即时取等，由椭圆的对称性，不妨设此时，，且直线和的夹角为，则，不难求得，此时，易知，且，∴四边形的面积为．19．解：（1），，，，，，所以与的线性回归方程为；（2），，，，，，，，，设备M的性能等级为丙级.（3）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件，所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.由题意可知从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y1，则，于是；从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，由题意可知Y2的分布列为：Y2012P故.则次品总数Y的数学期望.20.Ⅰ.解：（1）由题设，长轴长，短轴长，则，所以分别是中点，而柱体中为矩形，连接，由，故四边形为平行四边形，则，当为的中点时，则，故，面，面，故平面.（2）由题设，令，则，又，所以，，则，所以，根据椭圆性质知，故.（3）由，要使三棱锥的体积最大，只需面积和到面距离之和都最大，，令且，则，所以，显然时，有最大；构建如上图直角坐标系且，椭圆方程为，设，联立椭圆得，且，所以，，而，所以，令，则，由对勾函数性质知在上递增，故；综上，.Ⅱ.解：（1）和绕轴旋转半周所围成的几何体可以得到两个底面半径为1，高为2的圆锥，体积之和为；正方形绕轴旋转半周所围成的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱，体积为.所以，总的体积.（2）如图3，取中点为，连接，则.因为，中点为，所以.又平面平面，平面平面，所以，平面，即平面.以点为坐标原点，如图3建立空间直角坐标系，由已知可得，，，，所以，，，，，，所以，，，所以，，所以，异面直线与所成的角的余弦值为，所以，.（3）由已知可得，圆心为点，则半径.六边形绕轴旋转半周所围成的几何体的体积，等于直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体体积的2倍.直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体，为一个上、下底面半径分别为1、3，高为1的圆台，体积；剩下的两部分为全等的弓形，先研究弓形绕轴旋转半周，得到的几何体为球缺.现在用祖暅原理来求解该球缺的体积，如图5，半球的半径和圆柱的底面半径均为，且圆柱的高，且，在半球中，高度为，且平行于底面的截面圆的半径，面积为.在圆柱中，连接，设交高度为，且平行于底面的截面于点，显然△UVN∽△UWN1，所以有，即，所以.所以，当高度为时，圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，即圆环的面积，所以，当高度为时，半球的截面与圆柱中的截面圆环的面积相等.根据祖暅原理可知，半球某高度截面以上的体积（即球缺的体积），即等于圆柱该截面以上（挖去一个圆台）的体积.所以，球缺的体积（其中为半球被截面截去球缺后剩余部分的高）.由已知可得，弓形绕轴旋转半周，得到的几何体为球缺中，，，所以，该球缺的体积.所以，总的体积.