高三年级考试数学试题参考答案及评分标准2024.01一、选择题：题号12345678答案CAADBBAD二、选择题：题号9101112答案BCABDABDBCD三、填空题：11或213.514.(1+n)15.6π23π16.[,2)233四、解答题：（分）17.10解：（）2B2CBCBBCC1∵4sinsin=sin2sin2=4sincossincosBCBC∴sinsin=coscosBC∴cos(+)=0A……………………………………………………………………分∴=90°2ac∵=2,=1B∴=60°PBCPBA为锐角∵∠=90°,∠PBA………………………………………………………………分∴∠=30°3在PAB中，PBBA由余弦定理得△=23.=1,PA2PB2BA2PBBAPBA=+-2··cos∠3=12+1-2×23×1×=72PA…………………………………………………………………分∴=75（）记PBAα，则αABC2∠=+∠=90°ACBABC∵∠+∠=90°ACBα，ABα∴∠==2sinPAB∵∠=120°BPAPABαα……………………………………分∴∠=180°-∠-=60°-7在PAB中，PBABα△=23,=2sin高三数学试题参考答案第页（共页）17{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}PBAB由正弦定理得PAB=BPAsin∠sin∠α232sin…………………………………………………分∴=α9sin120°sin(60°-)αα∴3cos=2sinPBAα3…………………………………………………分∴tan∠=tan=102（分）18.12证明：（）AC，D为AC中点1∵=23AD∴=3ABDAB∵∠=30°,=23233………………………………………………………分∴ADB=2sin∠sin30°ADB∴sin∠=1ADB∴∠=90°BDAC∴⊥三棱柱ABCABC为直三棱柱∵-111BDAA…………………………………………………………………分∴⊥1,4AAACAAAAC平面AACC∵1⋂=,1,⊂11BD平面AACC∴⊥11AF平面AACC∵1⊂11BDAF…………………………………………………………………分∴⊥16（）以为原点，以DBDC所在直线为x轴y轴过D作AA的平行线为z轴，2D,,,1建立如图所示的空间直角坐标系.AABE3BBCF1CC∵1=5,=1,=155BECF∴=3,=1AAEF∴(0,-3,0),1(0,-3,5),(3,0,3),(0,3,1)EFAFAF∴=(-3,3,-2),=(0,23,1),1=(0,23,-4)………………………………………………………分8设平面AEF的法向量为n1xyz=(,,)ìïìn1EFïxyz则í·=0即í-31+31-21=0ïïîn1AFîyz·=0231+1=0令y，则zx1=31=-6,1=5n∴1=(5,3,-6)高三数学试题参考答案第页（共页）27{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}设平面AEF的法向量为n2xyz1=(2,2,2)ìïìn2EFïxyz则í·=0即í-32+32-22=0ïïîn2AFîyz·1=032-22=0令y则zx2=2,2=3,2=0,n……………………………………………………………分∴2=(0,2,3)10记平面AEF与平面AEF夹角为θ则1,θ|n1n2|4321cos=cos,==8714平面AEF与平面AEF夹角余弦值为21……………………………分∴11214（分）19.12解：（）ann3为递减数列…………………………………………………分1∵=-122siaii3tiai3i∴==-1,=+1=22cisitii33i9i………………………………………………分∴=+=-1+=4222n9cn-1-121n∴cn==(≥3)-2n92-22又c9∵1=2cccn是以9为首项，1为公比的等比数列………………………分∴1,2,…,-1622（）b2nbn2∵n-2(-1)n-4=0bnb∴(n-2)(n+2)=0b∵n>0bn………………………………………………………………………分∴n=28设Sbcnbcnbnc=1-1+2-2+…+-11n9n9n9=2·-1+4·-2+…+(2-2)·①222Sn9n9n9n…………分2=2·-2+4·-3+…+(2-4)·+(2-2)·9②10222得Sn9n99n①-②-=2·-1+2·-2+…+2·-(2-2)·9222n1-1n=18×[1-()]-18+182高三数学试题参考答案第页（共页）37{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}S1n8n∴=-1+18-362bcnbcnbnc1n8n…………………………分∴1-1+2-2+…+-11=-1+18-36122（分）20.12解：（）对于函数fxexxpq1①()=-sin(+)+f'xexxp在上恒成立∵()=-cos(+)>0(0,+∞)fx在上单调递增，不具有先升后降再升的特点……………分∴()(0,+∞)2对于函数fxx2pxq，其不具有先升后降再升的特点②()=++对于函数fx1x2pxxq③()=++36ln(2+2)+2x2pxpf'xxp36+(+1)+36+……………………………分()=++x=x4+1+1设方程x2pxp两根为xx（不妨设xx）+(+1)+36+=01,21<2p∵-30<<-11xxxx∴1+2>0,12>0xx∴0<1<2在x和x上f'xfx单调递增在xx上f'x∴(0,1)(2,+∞)()>0,(),(1,2)()<0,fx单调递减()函数符合先升后降再升的特点，故选………………………………分∴③③6（）由f及f，得2①(5)=6.78(11)=7.62ìpqìpí5+=-95，解得í=-12îpqîq11+=-167=-35fx1x2xxx且xN*……………分∴()=-12+36ln(2+2)-35,2≤≤12∈82设gx1x2xxx则②()=-12+36ln(2+2)-35(>0),2xxgx(-3)(-8)′()=x+1gx在上单调递增，在（，）上单调递减………………分∴()(0,3),(8,+∞)3810又f(2)=36ln6-57=36(ln2+ln3)-57=7.44f(4)=36ln10-75=36(ln2+ln5)-75=7.44>7f(5)=6.78<7f(10)=36ln22-105=36(ln2+ln11)-105=6.24<7f(11)=7.62>7当x时fx∴5≤≤10,()<7该果农应在月初到月底进行促销活动……………………………分∴7912高三数学试题参考答案第页（共页）47{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}（分）21.12解：（）fx1x2x1∵()<-lnax2xx∴ex-+ln<0ax设gxxx，则()=ex-+lnaxxexaxg'x(1-)1(1-)(+)…………………………………分()=ex+x-1=xex2ax∵>0,>0exax∴+>0当x时，g'xgx单调递增∈(0,1)()>0,()当xg'xgx单调递减∈(1,+∞),()<0,()agxg……………………………………………………分∴()max=(1)=e-14a即ae∴e-1<00,()当xaf'xfx单调递减∈(ln,1),()<0.()当xf'xfx单调递增∈(1,+∞),()>0.()aa22fx极大falna1aa1a∴()=(ln)=eln+(ln)-ln=ln≥0a22fxf1……………………………………………………分()极小=(1)=e-8又当xfx，2当xfx→+∞,()→+∞→-∞,()→-∞当a时faffx有个零点∴=1,(ln)=0,(1)<0,()2e当a或a时，f，fafx有个零点0<<11<<(1)<0(ln)>0,()3e2当a时，f，fafx有个零点=(1)=0(ln)>0,()2e2当ae时ffx只有个零点…………………………………分<<,(1)>0,()110当2ae时，f'xfx单调递增，fx只有个零点②=()≥0,()()1当ae时当x时f'xfx单调递增③>,∈(-∞,1),()>0,(),当xa时f'xfx单调递减∈(1,ln),()<0,()当xaf'xfx单调递增∈(ln,+∞),()>0,()afxf1fxfa12a∴()极大=(1)=e->0,()极小=(ln)=ln>0fx只有个零点22∴()1高三数学试题参考答案第页（共页）57{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}e综上，当a或a时，函数fx的零点个数为0<<11<<()3e2当a或a时，函数fx的零点个数为=1=()2e2当a时，函数fx的零点个数为………………………………分>()112方法二：2axx令fx得1x2x即xe1xa，()=0ex+-=0[(-1)+]=022解得x或aex1x=0=(1-)2令φxex1x，则φx1exx…………………………分()=(1-)′()=(1-)8当时φ'x2φx单调递2增且φx恒成立(-∞,1),()>0,()()>0当时φxφx单调递减且φφφ(1,+∞),′()0,(2)=0,(3)<0φxφ…………………………………………………分∴()max=(1)=10e2当a时ya与yφx图象有个交点，且φ∴0<<,==()2(0)=1e2当a时ya与yφx图象有个交点=,==()1e2当a时ya与yφx图象有个交点>,==()02e综上，当a或a时，函数fx的零点个数为0<<11<<()3e2当a或a时，函数fx的零点个数为=1=()2e2当a时，函数fx的零点个数为………………………………分>()112分222.(12)ìbï3ïa=tan30°=解：（）í3………………………………………………………分1∵ïc1ï·sin30°=1îa2b2c2+=a=3∴{b=1x2双曲线C的方程为y2……………………………………………分∴-=14（）若存在定点P满足题意3，则由对称性知，P点在x轴上，设2PxAxyBxy(0,0),(1,1),(2,2)ìx2ïy2由í-=1得k2x2kmxm2ï3(1-3)-6-3-3=0îykxm=+……………………………………………………………分6高三数学试题参考答案第页（共页）67{#{QQABTYYAogCoABAAABhCUQH6CEKQkBGCCCoOhEAEoAAAgBNABCA=}#}直线l与双曲线C相切∵k2且km2m2k2∴1-3≠0△=(-6)+12(+1)(1-3)k2m2m2k2m2k2=12(3+-3+1-3)=0m2k2，且m……………………………………………………分∴=3-1≠08kk2x3，y3m1∴1=-m1=-m+=-mkA31B33km∴(-m,-m)(,+)k22PA3x1PB3x3km∴=(-m-0,-m),=(-0,+)22|αβ|π∵-=2PAPB………………………………………………………………分∴·k=0103x3x13km∴(-m-0)(-0)-m(+)=0k22