2023－2024学年第一学期期末检测高三数学2024.01一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求)1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B中元素个数为()．A．0B．1C．2D．32．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则在复平面内z对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)＝(1，3)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)＝(－1，2)，则EQ\o\ac(\S\UP7(→),a)在EQ\o\ac(\S\UP7(→),b)上的投影向量为()．A．(1，－2)B．(－1，2)C．(1，3)D．(－eq\f(1,10)，eq\f(1,5))11位11位4．计算机在进行数的计算处理时，通常使用的是二进制．一个十进制数n(n∈N*)可以表示成二进制数(a0a1a2…ak)2，k∈N，则n＝a02k＋a12EQ\S(k－1)＋…＋ak20，其中a0＝1，当k≥1时，ak∈(0，1)．例如2024＝1×210＋1×29＋1×28＋1×27＋1×26＋1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋0×20，则十进制数2024表示成二进制数为(11111101000)2．那么，二进制数(11111111111)2表示成十进制数为()．A．1023B．1024C．2047D．20485．若a＞b＞1，x＝lneq\f(a＋b,2)，y＝eq\f(1,2)(lna＋lnb)，z＝eq\r(,lna·lnb)，则()．A．x＜z＜yB．y＜z＜xC．z＜x＜yD．z＜y＜x6．已知函数f(x)的导数为f′(x)，对任意实数x，都有f(x)－f′(x)＞0，且f(1)＝1，则f(x)＞eeq\s(x－1)的解集为()．A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)7．已知0＜β＜α＜eq\f(π,2)，sinαsinβ＝eq\f(1,10)，cosαcosβ＝eq\f(7,10)，则cos2α＝()．A．0B．eq\f(7,25)C．eq\f(24,25)D．18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则OC的最大值为()．A．eq\r(,6)＋eq\r(,2)B．2eq\r(,5)C．2eq\r(,2)＋2D．5二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．已知函数f(x)＝x(ex＋aeeq\s(－x))是奇函数或偶函数，则y＝f(x)的图象可能是()．A．B．C．D．10．将两组数据合并成一组数据后(可以有重复的数据)，下列特征数一定介于合并前两组数据的该种特征数之间(可以取等)的有()．A．平均数B．极差C．标准差D．中位数11．已知f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(ω＞0)，若p：ω≤2，且p是q的必要条件，则q可能为()．A．f(x)的最小正周期为πB．x＝eq\f(π,4)是f(x)图象的一条对称轴C．f(x)在[0，eq\f(π,4)]上单调递增D．f(x)在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上没有零点12．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列选项中正确的有()．A．过A1C的平面截此正方体所得的截面为四边形B．过A1C的平面截此正方体所得的截面的面积范围为[2eq\r(,6)，4eq\r(,2)]C．四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD的公共部分为八面体D．四棱锥C－A1B1C1D1与四棱锥C1－ABCD的公共部分体积为eq\f(2,3)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若(x－eq\f(\r(,a),x\s(2)))6展开式中的常数项为120，则实数a的值为▲．14．某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为16π，则该圆台的高为▲．15．已知椭圆C：eq\f(x\s(2),a\s(2))＋\f(y\s(2),b\s(2))＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，M是OF的中点，若椭圆C上到点M的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆C的离心率的取值范围为▲．16．有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件．对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为eq\f(2,5)，被标记为垃圾邮件的有eq\f(1,10)的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有eq\f(1,10)的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤(即垃圾邮件被标记为垃圾邮件)的概率为▲．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4b，C＝eq\f(π,3)．(1)求tanA：(2)若c＝1，求△ABC的面积．18．(本小题满分12分)已知数列{an}、{bn}满足a1＝3，b1＝1，an＋1＝3an＋bn，bn＋1＝an＋3bn．(1)证明：数列{an＋bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，平面PAD⊥平面ABCD，M、N分别为AD、PB的中点，且PB＝eq\r(,6)．(1)求证：BC⊥MN；(2)求二面角A－PB－C的余弦值．20．(本小题满分12分)某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人．假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为0.25%，记10000名客户中获得赔偿的人数为X．(1)求E(X)，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若X~B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，当n较大且p较小时，我们为了简化计算，常用E(X)的值估算D(X)的值．请根据上述信息，求：①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；②该公司今年这一款保险产品亏损的概率．参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997．21．(本小题满分12分)已知双曲线E：eq\f(x\s(2),a\s(2))－\f(y\s(2),b\s(2))＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(,6),2)，且左焦点F到渐近线的距离为eq\r(,3)．过F作直线l1、l2分别交双曲线E于A、B和C、D，且线段AB、CD的中点分别为M、N．(1)求双曲线E的标准方程；(2)若直线l1、l2斜率的乘积为－eq\f(1,5)，试探究：是否存在定圆G，使得直线MN被圆G截得的弦长恒为4?若存在，请求出圆G的标准方程；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(lnx－m)x的最小值为－1．(1)求实数m的值；(2)若f(x)＝a有两个不同的实数根x1，x2(x1＜x2)，求证：2－x2＜x1＜x2－(a＋1)e．