2023年秋期高中三年级期终质量评估数学试题参考答案一．选择题1-8.CBDCBDAC二．选择题9.AC10.ACD11.ABD12.CD三．填空题13.-1214.（1,0）（1，）15.8916.13四．解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）17.解析：（1）ma,b，nsinB,3cosA，且mn0，asinB3bcosA0，由正弦定理得sinAsinB3sinBcosA0.……………………………………………2分0Bπ，sinB0，sinA3cosA，tanA3.π0Aπ，A.………………………………………………………………………5分3（2）a10，由余弦定理得a2b2c22bccosA102，即b2c2bc100.…………………………………………………………………………7分b2c22bc，100bc2bc，bc100.133SbcsinAbc100253，………………………………………………8分244当且仅当bc时，△ABC面积有最大值，最大值为253.…………………………10分aa231解析：（）因为n1n，所以，18.12anan1an1an1anan1an12211aaaa则nn1nn12，a1a1aaaa111n1nnn1nn1aa2n2n1所以，……………………………………………………………………………分bn1bn221又，所以，故数列是首项为，公差为的等差数列，a10b11bn12a11所以，……………………………………………………………分bn12(n1)2n151122n…………………………………………………………分an11.6bn2n12n1高三数学第1页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}11（）证明：（方法一）由（）可得2，所以21Snn2.Snn17当时，…………………………………………………………………分n1T1=1.7S1411111当n2时，，…………………………………………8分n2n212n1n11111TnS1S2S3Sn111111111111232435n2nn1n11111711171122nn142nn14.………………………………11分7综上可得T.…………………………………………………………………………12分n411（方法二）由（）可得2，所以1Snn2.Snn17当时，…………………………………………………………………分n1T1=1.7S1411157当时，…………………………………………………分n2T2=+1+=.8S1S24441111当n3时，，…………………………………………………9分n2n(n1)n1n1111TnS1S2S3Sn11111117171++.…………………………………11分42334n1n4n47综上可得T.…………………………………………………………………………12分n4解析：证明：如图，连接，在中，，，，19.(1)A1CA1ACA1A2AC1A1AC60高三数学第2页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}由余弦定理，得1AC2AA2AC22AAACcosAAC412213，11112222所以A1C3，所以A1CACA1A，所以A1CAC，…………………………………………2分同理A1CBC，又BCACC，AC,BC平面ABC,所以A1C平面ABC,又A1C平面A1ACC1，所以平面ABC平面A1ACC1.……………………………………………5分(2)由平面几何知识可知，AC⊥CP，……………………………………………6分以C为坐标原点，以CA，CP，CA1为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，13……………………………………………7分则A(1,0,0)，B(,,0)，A1(0,0,3)，2233所以AA1(1,0,3)，AB(,,0)22mAAx3z0,111设平面AAB的法向量为，则1m(x1,y1,z1)33m·ABxy0,2121令z11，得m(3,3,1).…………………………………………………………9分又平面的法向量为，…………………………………………10分CA1Pn(1,0,0)339cosm,n…………………………………………11分39113所以二面角的正弦值为130.……………………………………………12分CA1PB113（若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分）20.解析：(1)∵前四组频数成等差数列，∴设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.……………………………4分(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.7<0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，0.80.7应规定w2.52.83…………………………………………………8分0.15(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，高三数学第3页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}可知P(A≤2.5)＝0.7，由题意，知X～B(3，0.7)，03P(X＝0)＝C3×0.3＝0.027，12P(X＝1)＝C3×0.7×0.3＝0.189，22P(X＝2)＝C3×0.7×0.3＝0.441，33P(X＝3)＝C3×0.7＝0.343.∴X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343………11分∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝3×0.7＝2.1.…………………………………………………12分ba21.解析：（1）设P(x,y)，则yx，xy，QaRb1b1aabx2y2|x(x)||y(y)|1由题意可得，2a2b2，即a2b2，x2y2故点P的轨迹C的方程为1；……………4分a2b2x2y21（2）由（1）可知C：4假设存在常数n,使ADAE（常数），设直线l：xmyn，代入C，整理得222(m4）y2mny(n4)0，设D(x1,y1),E(x2,y2)2mnn24则yy,yy……………6分12m2412m24所以ADAE(x14,y1)(x24,y2)(x14)(x24)y1y2(my1n4)(my2n4)y1y222……………7分(m1)y1y2m(n4)(y1y2)(n4)(m21)(n24)2m2n(n4)(n4)2m24m24（算法一）22整理化简得：(12)m5n32n6040对mR恒成立.……9分故120,5n232n6040212,5n232n120n或6(舍去）……………11分5高三数学第4页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}当直线l为x轴时ADAE122综上，存在常数n,对任意直线l,使ADAE12（为定值）……………12分5（算法二）(m21)(n24)2m2n(n4)(n28n4)m2(n24)(n4)2(n4)2m24m24m24n24根据对应系数成比例得：n28n4.……………9分422整理得5n32n120，解得n或n65当n6不能保证任意l成立，故舍去.2将n代入上式可得ADAE12……………11分5当直线l为x轴时ADAE122综上，存在常数n,对任意直线l,使ADAE12（为定值）……………12分522.解析：（1）依题意知：x0,，f'xalnxa，a111g(x)(a)…………………1分xx2xx①a0时，g(x)0恒成立，g(x)在（0，）上单调递减；……………………3分11②a0时，由g(x)0,得0x,g(x)0,得x,aa11g(x)在（0，）上单调递减，（，）上单调递增.……………………5分aa（2）依题意，要证：xlnxexsinx1，①当0x1时，xlnx0,ex1sinx0，故原不等式成立，…………………………7分②当x1时，要证：xlnxexsinx1，即要证：xlnxexsinx10，令h(x)xlnxexsinx1,(x1)则hxlnxexcosx1，1hxexsinx，………………………………8分x………………………………分x1,h(x)09高三数学第5页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}hx在1，+单调递减hxh11ecos10………………………10分h(x)在1，+单调递减，h(x)h(1)1esin10，即：xlnxexsinx10，故原不等式成立.…………………………………12分高三数学第6页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}