友好学校第七十六届期末联考高三数学说明：本试卷共22题，共4页.考试时间为120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.2选择题必须用2B铅笔填涂﹔非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A.1 B.－1 C.2 D.－23.设函数在处的切线与直线平行，则（）A. B.2 C. D.14.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得，，，在C处测得阁顶的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度为（精确到，参考数据：，）（）A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为．若，，则（）A. B. C. D.6.已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.87.已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.8.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（）A. B.5 C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”否定是“：，”C.把的图像向左平移个单位长度，得到的图像的解析式为D.10.如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（）A.在上增函数B.在上是减函数C.当时，取得极小值D.当时，取得极大值11.已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A. B.周长为16C.的面积为 D.12.如图，正方体的棱长为，E是棱上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（）A.若E为的中点，则直线面B.三棱锥的体积为定值C.直线AC与直线所成角为定值D.直线与平面所成角正切值的范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量、为单位向量，且则向量与的夹角为________.14.已知正项等比数列的前项和为，若，且，则__________．15.已知函数为奇函数，，若当时，，则______．16.已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知向量，，设函数．（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．18.在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．（1）证明：；（2）求二面角正弦值的大小.19.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积．20.设数列的前项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前的项和．21.已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，过的直线与椭圆交于、两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值．22.已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围．友好学校第七十六届期末联考高三数学说明：本试卷共22题，共4页.考试时间为120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.2选择题必须用2B铅笔填涂﹔非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由描述法表示集合，求函数的定义域可得集合A，再由集合的交集的定义可求解.【详解】集合，故，故选：B.2.若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A.1 B.－1 C.2 D.－2【答案】D【解析】【分析】根据除法运算求出，再根据纯虚数的定义可得结果.【详解】,因为为纯虚数，所以，得.故选：D3.设函数在处的切线与直线平行，则（）A B.2 C. D.1【答案】D【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求.【详解】函数的定义域为，由已知，故，函数的导函数，所以，因为函数在处的切线与直线平行，所以，所以，经验证，此时满足题意.故选：D4.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A在同一水平面的B，C两处作为观测点，测得，，，在C处测得阁顶的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度为（精确到，参考数据：，）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中，由正弦定理可求，进而可得结果.【详解】在中，则，因为，可得（m），在中，则，即为等腰直角三角形，可得（m）.故选：C.5.已知等差数列的前项和为．若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式求出的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，则，又因为，则，解得，因此，.故选：C.6.已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．故选：C.7.已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.【详解】的定义域是，所以是奇函数.当时，，所以在上单调递增.，由于，所以，即.故选：B8.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】将三棱锥放入长方体内，得到为球直径，由基本不等式求出，从而求出三棱锥的体积的最大值.【详解】因为，易知三角形为等腰直角三角形，又平面，所以为三棱锥的高，则可将三棱锥放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，，解得，又，解得，，所以所以三棱锥的体积，故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是真命题的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“，”的否定是“：，”C.把的图像向左平移个单位长度，得到的图像的解析式为D.【答案】ABD【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B，根据三角函数的变换规则及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质判断D；【详解】解：对于A：由，即，解得或，所以由推得出，由推不出，所以是的充分不必要条件，故A正确；对于B：命题“，”的否定是“：，”，故B正确；对于C：把的图像向左平移个单位长度，得到，故C错误；对于D：因为在上单调递减，又，所以，所以，故D正确；故选：ABD10.如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（）A.在上增函数B.在上是减函数C.当时，取得极小值D.当时，取得极大值【答案】BC【解析】【分析】根据导数与原函数关系解决.【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；在上为增函数，故A错B对，C对D错.故选：BC11.已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A. B.的周长为16C.的面积为 D.【答案】AB【解析】【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断BC,由余弦定理即可判断D.【详解】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，整理可得．，解得或（舍去负值），所以，代入可得，．设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；对于C项，易知，故C项错误；对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．故选：AB12.如图，正方体的棱长为，E是棱上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（）A.若E为的中点，则直线面B.三棱锥的体积为定值C.直线AC与直线所成角为定值D.直线与平面所成角正切值的范围为【答案】BCD【解析】【分析】若为中点，连接，判断为平行四边形，结合面判断A；由，数形结合及棱锥体积公式判断B；根据正方体性质及线面垂直的判定、性质判断C；根据线面角定义求其正切值的范围判断D.【详解】A：若为中点，连接，又E为的中点，正方体中易知，所以为平行四边形，则，而面，显然面不成立，错；B：，显然的面积为定值，且到面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，对；C：由题意且面，面，则，，面，则面，而面，所以，直线AC与直线所成角为定值，对；D：由上到面的距离为a，而E是棱上的动点（不包含端点），所以，则直线与面所成角正切值范围为，对.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量、为单位向量，且则向量与的夹角为________.【答案】##【解析】【分析】根据模长公式即可代入求解.【详解】由可得，可得，由于，所以，故答案为：.14.已知正项等比数列的前项和为，若，且，则__________．【答案】【解析】【分析】根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.【详解】设公比为，则，由，，解之得或（舍去），故.故答案为：15.已知函数为奇函数，，若当时，，则______．【答案】【解析】【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及对数运算求得正确答案.【详解】所以，所以是周期为的周期函数，又函数为奇函数，当时，，所以，即，可得，则．故答案为：16.已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为________．【答案】1【解析】【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案．【详解】⊙M：的圆心坐标为，半径为2