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河南省南阳市2023-2024学年高三上学期1月期末数学答案
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2023年秋期高中三年级期终质量评估数学试题参考答案一.选择题1-8.CBDCBDAC二.选择题9.AC10.ACD11.ABD12.CD三.填空题13.-1214.(1,0)(1,)15.8916.13四.解答题(答案仅供参考,各小题若有其他解法,请酌情给分)17.解析:(1)ma,b,nsinB,3cosA,且mn0,asinB3bcosA0,由正弦定理得sinAsinB3sinBcosA0.……………………………………………2分0Bπ,sinB0,sinA3cosA,tanA3.π0Aπ,A.………………………………………………………………………5分3(2)a10,由余弦定理得a2b2c22bccosA102,即b2c2bc100.…………………………………………………………………………7分b2c22bc,100bc2bc,bc100.133SbcsinAbc100253,………………………………………………8分244当且仅当bc时,△ABC面积有最大值,最大值为253.…………………………10分aa231解析:()因为n1n,所以,18.12anan1an1an1anan1an12211aaaa则nn1nn12,a1a1aaaa111n1nnn1nn1aa2n2n1所以,……………………………………………………………………………分bn1bn221又,所以,故数列是首项为,公差为的等差数列,a10b11bn12a11所以,……………………………………………………………分bn12(n1)2n151122n…………………………………………………………分an11.6bn2n12n1高三数学第1页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}11()证明:(方法一)由()可得2,所以21Snn2.Snn17当时,…………………………………………………………………分n1T1=1.7S1411111当n2时,,…………………………………………8分n2n212n1n11111TnS1S2S3Sn111111111111232435n2nn1n11111711171122nn142nn14.………………………………11分7综上可得T.…………………………………………………………………………12分n411(方法二)由()可得2,所以1Snn2.Snn17当时,…………………………………………………………………分n1T1=1.7S1411157当时,…………………………………………………分n2T2=+1+=.8S1S24441111当n3时,,…………………………………………………9分n2n(n1)n1n1111TnS1S2S3Sn11111117171++.…………………………………11分42334n1n4n47综上可得T.…………………………………………………………………………12分n4解析:证明:如图,连接,在中,,,,19.(1)A1CA1ACA1A2AC1A1AC60高三数学第2页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}由余弦定理,得1AC2AA2AC22AAACcosAAC412213,11112222所以A1C3,所以A1CACA1A,所以A1CAC,…………………………………………2分同理A1CBC,又BCACC,AC,BC平面ABC,所以A1C平面ABC,又A1C平面A1ACC1,所以平面ABC平面A1ACC1.……………………………………………5分(2)由平面几何知识可知,AC⊥CP,……………………………………………6分以C为坐标原点,以CA,CP,CA1为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,13……………………………………………7分则A(1,0,0),B(,,0),A1(0,0,3),2233所以AA1(1,0,3),AB(,,0)22mAAx3z0,111设平面AAB的法向量为,则1m(x1,y1,z1)33m·ABxy0,2121令z11,得m(3,3,1).…………………………………………………………9分又平面的法向量为,…………………………………………10分CA1Pn(1,0,0)339cosm,n…………………………………………11分39113所以二面角的正弦值为130.……………………………………………12分CA1PB113(若用综合几何法求解,请按照步骤酌情给分)20.解析:(1)∵前四组频数成等差数列,∴设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,∴0.5×(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,解得d=0.1,∴a=0.3,b=0.4,c=0.5.居民月用水量在2~2.5内的频率为0.5×0.5=0.25.……………………………4分(2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于等于2.5的频率为0.7<0.8,∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,0.80.7应规定w2.52.83…………………………………………………8分0.15(3)将频率视为概率,设A(单位:立方米)代表居民月用水量,高三数学第3页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}可知P(A≤2.5)=0.7,由题意,知X~B(3,0.7),03P(X=0)=C3×0.3=0.027,12P(X=1)=C3×0.7×0.3=0.189,22P(X=2)=C3×0.7×0.3=0.441,33P(X=3)=C3×0.7=0.343.∴X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343………11分∵X~B(3,0.7),∴E(X)=3×0.7=2.1.…………………………………………………12分ba21.解析:(1)设P(x,y),则yx,xy,QaRb1b1aabx2y2|x(x)||y(y)|1由题意可得,2a2b2,即a2b2,x2y2故点P的轨迹C的方程为1;……………4分a2b2x2y21(2)由(1)可知C:4假设存在常数n,使ADAE(常数),设直线l:xmyn,代入C,整理得222(m4)y2mny(n4)0,设D(x1,y1),E(x2,y2)2mnn24则yy,yy……………6分12m2412m24所以ADAE(x14,y1)(x24,y2)(x14)(x24)y1y2(my1n4)(my2n4)y1y222……………7分(m1)y1y2m(n4)(y1y2)(n4)(m21)(n24)2m2n(n4)(n4)2m24m24(算法一)22整理化简得:(12)m5n32n6040对mR恒成立.……9分故120,5n232n6040212,5n232n120n或6(舍去)……………11分5高三数学第4页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}当直线l为x轴时ADAE122综上,存在常数n,对任意直线l,使ADAE12(为定值)……………12分5(算法二)(m21)(n24)2m2n(n4)(n28n4)m2(n24)(n4)2(n4)2m24m24m24n24根据对应系数成比例得:n28n4.……………9分422整理得5n32n120,解得n或n65当n6不能保证任意l成立,故舍去.2将n代入上式可得ADAE12……………11分5当直线l为x轴时ADAE122综上,存在常数n,对任意直线l,使ADAE12(为定值)……………12分522.解析:(1)依题意知:x0,,f'xalnxa,a111g(x)(a)…………………1分xx2xx①a0时,g(x)0恒成立,g(x)在(0,)上单调递减;……………………3分11②a0时,由g(x)0,得0x,g(x)0,得x,aa11g(x)在(0,)上单调递减,(,)上单调递增.……………………5分aa(2)依题意,要证:xlnxexsinx1,①当0x1时,xlnx0,ex1sinx0,故原不等式成立,…………………………7分②当x1时,要证:xlnxexsinx1,即要证:xlnxexsinx10,令h(x)xlnxexsinx1,(x1)则hxlnxexcosx1,1hxexsinx,………………………………8分x………………………………分x1,h(x)09高三数学第5页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}hx在1,+单调递减hxh11ecos10………………………10分h(x)在1,+单调递减,h(x)h(1)1esin10,即:xlnxexsinx10,故原不等式成立.…………………………………12分高三数学第6页共6页{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}

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