长沙市2024年新高考适应性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．请保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M{x|x1}，N{x|x21}，则A．MNB．MNC．NMD．MNi2．复数z在复平面内对应的点位于2iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若抛物线y2ax的焦点坐标为(1,0)，则实数a的值为A．2B．2C．4D．44．下图是函数yAsin(x)的部分图象，则该函数的解析式可以是11A．y2sin(x)B．y2sin(x)2323C．y2sin(2x)D．y2sin(2x)33数学试题第1页（共5页）5．已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球，且这些球的大小质地完全相同．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中随机抽取1个球，此球恰为红球的概率是39513A．B．C．D．8208206．若tan24tan()0，则sin244224A．B．C．D．5555x7．已知直线ya与函数f(x)e，g(x)lnx的图象分别相交于A，B两点．设k1为曲线yf(x)在点A处切线的斜率，k2为曲线yg(x)在点B处切线的斜率，则k1k2的最大值为1A．B．1C．eD．eee8．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点．若AB2，CD3，且uuuruuuruuurEFAB4，则|EF|172142A．B．C．D．5222二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列函数中，是奇函数的是1xA．yexexB．yx3x2C．ytan2xD．ylog21x10．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则d2d1A．轨道的焦距为d2d1B．轨道的离心率为d2d1d1C．轨道的短轴长为2d1d2D．当越大时，轨道越扁d2数学试题第2页（共5页）11．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段BD1上的动点，直线m为平面A1DP与平面B1CP的交线，则A．存在点P，使得BB1∥面A1DPB．存在点P，使得B1P面A1DP．当点不是的中点时，都有∥面CPBD1mA1B1CDD．当点P不是BD1的中点时，都有m面ABD112．设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，下列说法正确的是A．若T8T12，则a10a111B．若T8T12，则T2011011C．若a1024，且T为数列{T}的唯一最大项，则()9q110n22D．若a10，且T10T11T9，则使得Tn1成立的n的最大值为20三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知随机变量X的分布列如下：X123P0.10.70.2则数学期望E(X)．14．已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(2)1，则不等式f(x)52x的解集为．15．已知A(4,1)，B(2,2)，C(0,3)，若在圆x2y2r2(r0)上存在点P满足|PA|2|PB|2|PC|213，则实数r的取值范围是．16．已知正四棱锥PABCD的顶点均在球O的表面上．若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小值为．数学试题第3页（共5页）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知数列{an}满足an13an2n1，且a11．（1）证明：数列{ann}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．18．（本题满分12分）如图1，在矩形ABCD中，AB2，BC23，将ABD沿矩形的对角线BD进行翻折，得到如图2所示的三棱锥ABCD．图1图2（1）当ABCD时，求AC的长；（2）当平面ABD平面BCD时，求平面ABC和平面ACD的夹角的余弦值．19．（本题满分12分）某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：产品优质品非优质品更新前2416更新后4812（1）依据小概率值0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？（2）如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率．质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败．①求经核查认定设备更新失败的概率p；②根据p的大小解释核查方案是否合理．n(adbc)22附：2P(x)0.0500.0100.001(ab)(cd)(ac)(bd)x3.8416.63510.828数学试题第4页（共5页）20．（本题满分12分）在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，且满足sinBsinC2sinAcosB．（1）证明：a2b2bc；（2）如图，点D在线段AB的延长线上，且|AB|3，|BD|1，当点C运动时，探究|CD||CA|是否为定值？21．（本题满分12分）已知函数f(x)axlnxx21．（1）若f(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；34n1（2）证明：(ln2)2(ln)2(ln)2(ln)21．23ny222．（本题满分12分）已知双曲线x21与直线l:ykxm(k3)有唯一的公3共点P，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M,N两点，其中点M，P在第一象限．（1）探求参数k,m满足的关系式；（2）若O为坐标原点，F为双曲线的左焦点，证明：MFPNFO．数学试题第5页（共5页）