2024年高考数学综合提升卷【赢在寒假】新高考全国通用（二）班级_______姓名：_______考号：_______第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的除法运算以及复数的模、共轭复数的概念即可求解.【详解】由题意得，，所以.故选：A.2．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合中元素范围，再求交集即可.【详解】集合，则.故选：C.3．已知正项等比数列（其中公比）的前项积为．设甲：，乙：有最小值，则甲是乙的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据等比数列的性质及充分必要条件的定义可得结果.【详解】因为正项等比数列，且公比，甲：，则，又，所以，且公比，所以有最小值；若有最小值，则,即，因为，所以，故不一定有，故选：A．4．如图，西周琱生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆柱的高之比约为，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为，则圆台与圆柱的体积之比约为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圆台与圆柱的体积公式进行计算即可.【详解】依题意，令圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为3，圆柱的高为5，则圆台的体积圆柱的体积，故，故选：B5．为丰富老年人的精神文化生活，提高老年人的生活幸福指数，某街道举办以社区为代表队的老年门球比赛，比赛分老年男组和老年女组，男女组分别进行淘汰赛．经过多轮淘汰后，西苑社区的老年男子“龙马”队和老年女子“风采”队都进入了决赛．按照以往的比赛经验，在决赛中“龙马”队获胜的概率为，“风采”队获胜的概率为，（“龙马”队和“风采”队两队中只有一支队伍获胜的概率为（“龙马”队和“风采”队在比赛中互不影响），则西苑社区的“龙马”队和“风采”队同时获得冠军的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据独立事件的乘法公式得到关于的方程，解出值，则得到同时获得冠军的概率.【详解】由题意得两队中只有一队获胜包含“龙马”队获胜“风采”队未获胜、“龙马”队未获胜“风采”队获胜；则，解得．所以两队同时获得冠军的概率为．故选：C．6．已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦函数对称中心求出的表达式，再赋值求得结果.【详解】函数的图像关于原点中心对称,则，解得，因为，当时，取得最小值.故选：B7．已知椭圆()，，分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若、A、、B四点共圆，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据四点共圆及的倾斜角得到为等边三角形，故，进而求出，利用椭圆定义得到方程，求出离心率.【详解】因为、A、、B四点共圆，为圆心，所以，故，又的倾斜角为，故为等边三角形，故，由勾股定理得，由椭圆定义可得，即，解得.故选：C8．已知，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】方法一：由正弦函数的单调性得出，再设，由其导数得出单调性，即可由得出，即，即可得出答案；方法二：由正弦函数的单调性得出，再由为中间值得出，，，即，即可得出答案.【详解】方法一：因为在上单调递增，所以.设，则，当时，，所以再上单调递增，所以，所以，即，所以.综上，得，故选：B.方法二：因为在上单调递增，所以.又.综上，得，故选：B.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知直线和圆，则（    ）A．直线过定点B．直线与圆有两个交点C．存在直线与直线垂直D．直线被圆截得的最短弦长为【答案】ABC【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.【详解】对A，由可得，，令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确；对B，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确；对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即，此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确；对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；故选：ABC.10．2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．x12345y2110a15a90109根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（    ）A．样本相关系数在内 B．当时，残差为-2C．点一定在经验回归直线上 D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130【答案】AD【分析】x，y具有较强的正相关关系，可判断相关系数的范围，判断A；计算x，y的平均值，代入回归直线方程求出a的值，即可求出时的预测值，求得残差，判断B；看是否适合回归直线方程，判断C；将代入回归直线方程，求出预测值，判断D.【详解】由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，A正确；根据题意得，故，解得，故当时，，残差为，B错误；点即点，当时，，即点不在经验回归直线上，C错误；当时，，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，D正确，故选：AD11．下列说法正确的是（    ）A．在中，命题，命题，则命题p是命题q的充分不必要条件B．当时，的最小值是5C．己知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为D．若随机变量，则【答案】BCD【分析】利用正弦定理边角互化结合大边对大角即可判断A；利用基本不等式即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D.【详解】对于A，在中，因为，所以，由正弦定理得，因为，由正弦定理得，所以，所以命题p是命题q的充要条件，故A错误；对于B，当时，，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值是5，故B正确；对于C，因为向量，，所以向量在向量方向上的投影向量为，故C正确；对于D，，根据正态分布的对称性可得，所以，故D正确.故选：BCD.12．如图，三棱锥中，，平面，则下列结论正确的是（    ）A．直线与平面所成的角为B．二面角的正切值为C．点到平面的距离为D．【答案】ABC【分析】根据线面垂直结合线面角的定义即可求解A，根据二面角定义即可求解B，利用等体积法即可求解C，根据垂直关系得矛盾即可判断D.【详解】选项A，因为平面，故为直线与平面所成的角，又，所以，故直线与平面所成的角是，故A正确；选项B，取中点为，连接，，因为，平面，所以，，因为，平面，所以平面，故为二面角的平面角，则，故二面角的正切值为，故B正确；选项C，因为，所以，设到面的距离为，则由，可得：，解得，故C正确；选项D，若，又，且，平面,则面，则有，与矛盾，故D错误．故选:ABC．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中的系数为.【答案】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】结合题意可得：所以的系数为.故答案为:.14．若角的终边在第四象限，且，则．【答案】【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再利用两角差的正切公式代入计算可得结果.【详解】由可得，又角的终边在第四象限，可得，即；所以.即.故答案为：15．已知圆E：，点P是直线l：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为．【答案】【分析】根据面积最小，即可根据点到直线的距离公式求解.【详解】的圆心为，半径为2，，，，，．当时，取得最小值，，即四边形面积的最小值为．又,,故的最小值为，故答案为：16．记为公差不为零的等差数列的前n项和.若，且，，成等比数列，则的值为.【答案】2022【分析】根据等差数列的性质可得，结合等比中项可得，结合等差数列的定义分析求解.【详解】因为数列为等差数列，则，可得，设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，则，即，解得或（舍去），所以.故答案为：2022.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．在中，角的对边分别是，且.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.【详解】（1）因为，所以，所以.因为，所以.（2）因为，所以.因为，所以，则.故的面积18．已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的最大项.【详解】（1）由题意得，设公比为，若，此时，此时不满足；若，则，故，即，由于，故，解得或1（舍去），故；（2），故，所以，令，由对勾函数可知在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为，故.数列的最大项为19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为棱AB的中点，AC⊥PE，PA=PD.(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角的正弦值.【详解】（1）如图，连接,取中点,连接,因底面ABCD为菱形，故,又E为棱AB的中点，故，则，已知平面，故平面，因平面，则，因，则又平面则平面，又平面，故平面平面（2）如图，连，由（1）知平面，且∠BAD=60°，则是正三角形，,故可以分别为轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设,则于是,设平面D的法向量为，则有可取.因，故可取平面的法向量为.设二面角的平面角为，则为锐角，故则即二面角的正弦值为.20．2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．(1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率(2)设每5人组获得购物券的人数为X．（ⅰ）求X的分布列与数学期望：（ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）【详解】（1）由频率分布直方图可知，每名顾客获得抽奖资格的概率为．参与抽奖的顾客获得10元购物券的概率为，则每名顾客获得10元购物券的概率，则这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率．（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2，，，，则的分布列为012则的数学期望．（ⅱ）由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值（元），则1000名顾客的消费总金额为（元）．设每1000名顾客最多送出部手机，则，又，所以，故每1000名顾客最多送出3部手机．21．已知双曲线：，点的坐标为．(1)设直线过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．【详解】（1）直线的方程为．由方程组得．设,则，．（2）设点，则点的坐标为．，，．因为，所以．22．已知函数．(1)，求函数的最小值；(2)若在上单调递减，求的取值范围．【详解】（1）因为，所以，令，则有，当时，单调递减，当时，单调递增，因此当时，则有，因此当时，则有，当时，显然，于是有当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以；（2）由，因为在上单调递减，所以在上恒成立，由，设，则有，当时，单调递减，当时，单