乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位量上．2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．第I卷（选择题 共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1-2i1．若复数z=，则z=（）2+iA．iB．-iC．1D．-12．命题“$x>1，x>2”的否定是（）A．$x£1，x>2B．$x£1，x£2C．x>1，x£2D．x>1，x>2r3．已知向量ar=(1,2)，b=(1,-3)，则（）A．a//(a+b)B．a//(a-b)C．a^()a-bD．a^()a+b224．已知数列an满足a1=1，an+1-an=2，则a5=（）A．3B．2或-2C．3或-3D．255．x2-x+y的展开式中x5y2的系数为（）A．-30B．-20C．20D．30p6．设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，以AB为4æpö直径的圆与准线l切于点Mç-,2÷，则C的方程为（）è2øA．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8xuuur2uuur1uuur7．在△ABC中，AD=AB+AC，ÐBAD=q，ÐCAD=2q，则下列各式一定成立的是（）33A．sinBC=cosqsinB．sinCB=cosqsinC．sinBC=sinqsinD．sinCB=sinqsin学科网（北京）股份有限公司8．在满足，yixi的实数对中，使得成立的2£xi0,-0,b>0)的左、右焦点分别为F，F，A是右支上一点，满足AF^AF，a2b21212直线AF2交双曲线于另一点B，且BF1-AF1=2a，则双曲线离心率的一个值为_________．四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2+a4=30，S4=45．（I）求an的通项公式；1（II）设bn=，求bn的前n项和Tn．anan+116．（15分）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力³5.0为正常视力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成结进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：（I）能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关？（不需说明理由）（II）估计该地区近视学生学习成缆的第85百分位数；（精确到0.1）（III）已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩³85分为优秀），从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）17．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA^平面ABCD，PA=AB，点E，F分别是棱PB，BC的中点．学科网（北京）股份有限公司（I）求直线AF与平面PBC所成角的正弦值；（II）在截面AEF内是否存在点G．使DG^平面AEF，并说明理由．x2y2618．（17分）已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，点P(0,2)在椭圆C上，过点P的两条直a2b23线PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足kPA+kPB=4kABkAB¹0．（I）求椭圆C的方程；（II）证明直线AB过定点；（III）椭圆C的焦点分别为F1，F2，求凸四边形F1AF2B面积的取值范围．19．（17分）已知函数f(x)=lnx+ax2-x+a+1．（I）证明曲线y=f()x在x=1处的切线过原点；（II）讨论f()x的单调性；（III）若f()x£ex，求实数a的取值范围．乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测数学（答案）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1~4ACDC5~8ABBD二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．ABC10．BCD11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．1012．413．0.114．或52四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．ìa2+a4=30ìa2+a4=3015．（13分）（I）由题设得í，故í，îS4=45îa1+a3=15学科网（北京）股份有限公司ìq=2n-1因为数列an为等比数列，所以数列í，所以an=3´2；îa1=311111n-1（）由（）得，IIIbn==n-1n=n-1=´anan+1323218418411n1-18421n211n-1所以T==1-=-．n11-27427544416．（15分）（I）不能据此判断；（II）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为7%+13%+20%+24%=64%，因此第85百分85-6435位数一定位于90,100内，由90+10´=90+»95.8，可以估计该地区近视学生的学习成绩100-646的第85百分位数约为95．8；（III）设A=“该地区近视学生”，B=“该地区优秀学生”，由题设得PBA=0.48，PA()=0.54，PB()=0.36，P()ABPBAPA0.48´0.54所以PAB====0.72．PBPB()()0.36uuur17．（15分）（I）以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，不妨设AB=2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，uuuruuuruuurAF=(2,1,0)，BP=(-2,0,2)，BC=(0,2,0)，uuurïìnr×BP=0ì-2x+2z=0设平面PBC的法向量nr=(,,)xyz，则í，即í，可取nr=(1,0,1)，ruuurîïn×BC=0î2y=0ruuurruuurn×AF1010因为cosán,AFñ=uuur=，所以AF与平面PBC所成角的正弦值为；|nr|×|AF|55uuuruuuruuur（II）假设截面AEF内存在点G满足条件，设AF=lAE+mAF，l³0，m³0，l+m£1，uuuruuuruuuruuuruuur所以DG=DA+AG=(l+2m,m-2,l)，AE=(1,0,1)，AF=(2,1,0)，学科网（北京）股份有限公司ì2uuuruuurl=-ïìDG×AE=0ì2l+2m=0ï3因为DG^平面AEF，所以í，所以í，解得í，uuuruuur2l+5m-2=02îïDG×AF=0îïm=îï3这与假设矛盾矛盾，所以不存在点G，使DG^平面AEF．ìb=2ïïc6x2y218．（17分）（I）由题设得í=，解得a2=12，所以C的方程为+=1；ïa3124ïa2=b2+c2î（II）由题意可设lAB:y=kx+m(m¹2)，设Ax1,y1，Bx2,y2，ìy=kx+mï222由íx2y2，整理得1+3kx+6kmx+3m-12=0，ï+=1î124D=36k2m2-41+3k23m2-12=1212k2-m2+4．3m2-12-6mk由韦达定理得xx=，x+x=，121+3k2121+3k2y1--2y22kx1+m-2kx2+m-2由kPA+kPB=4kAB得+=4k，即+=4k，x1x2x1x2整理得2mk(m-2)=24-m2k，因为k¹0，得m2-m-2=0，解得m=2或m=-1，m=2时，直线AB过定点P(0,2)舍去；m=-1时，满足D=364k2+1>0，所以直线AB过定点(0,-1)．1（III）由（II）得直线l:y=kx-1，所以x=(y+1)，ABkì1x=(y+1)ïkæ1ö21æ1ö由，整理得2，，íç2+3÷y+2y+2-12=0D=36ç2+4÷>0x2y2èkøkkèkøï+=1îï1241+412由题意得S=FFy-y=22y-y=122k，F1AF2B12121212+3k2学科网（北京）股份有限公司1111因为k=，所以k2>，所以0<<8，令t=+4，tÎ(2,23)，AF2228k2k2t1所以S=122=122，在tÎ(2,23)上单调递减，F1AF2B21t-1t-tæ246ö所以S的范围是,82．F1AF2Bç÷è11ø119．（17分）（I）由题设得f¢(x)=+2ax-1(x>0)，所以f¢(1)=1+2a-1=2a，x又因为f(1)=a-1+a+1=2a，所以切点为(1,2a)，斜率k=2a，所以切线方程为y-2a=2a(x-1)，即y=2ax，恒过原点．2ax2-x+1（II）由（I）得f¢()x=(x>0)，x-x+1①a=0时，f¢()x=，x当xÎ(0,1)时，f¢(x)>0，f()x在(0,1)上单调递增，当xÎ(1,+¥)时，f¢(x)<0，f()x在(1,+¥)上单调递减；1②a>0时，D=1-8a，a³时，D£0，f¢(x)³0，f()x在(0,+¥)上单调递增，81æ1--18aöæ1-1-8a1+1-8aö00，f()x在ç0,÷上单调递增，在ç,÷上单调递减，在8è4aøè4a4aøæ1+1-8aöç,+¥÷上单调递增；è4aøæ1--18aöæ1--18aö③a<0时，D>0，f()x在ç0,÷上单调递增，在ç,+¥÷上单调递减；è4aøè4aøe（III）当x=1时，f(1)£e，即a£，2e下面证明当a£时，f()x£ex，xÎ(0,+¥)，即证lnx+ax2-x+a+1£ex，22x2æeöæeö令g(a)=x+1a+lnx-x-e+1，因为x+1>0，所以g()a£gç÷，只需证gç÷£0，è2øè2øeeee即证x2+lnx-x-ex