2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21．已知集合A={x∣-1„x<3}，B=xÎZ∣x<4，则ABI等于A．0,1B．-1,0,1C．-1,0,1,2D．--2,1,0,1,2i2．若z=，则复数z在复平面内对应的点在i+2A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1S93．设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，a4=a5，则等于2S4A．15B．1C．-1D．-9rprr4．已知向量ar，b的夹角为且ar=2，b=1,1，则ar在b上投影向量的坐标为3æ11öæ22öA．2,2B．C．D．1,1ç,÷ç,÷è22øè22ø5．“x>1”是“log1x+1<0”的2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件226．过直线y=x上的一点P作圆(x-5)+(y-1)=2的两条切线l1，l2，切点分别为A，B，当直线l1，l2关于y=x对称时，线段PA的长为A．4B．22C．6D．2学科网（北京）股份有限公司7．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P是C上一点，且PF=5，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则p等于A．2B．2或4C．4D．4或68．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出111行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交333111车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是456121534A．B．C．D．373757二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数fx=Asinwx+j的图象如图所示，M，N是直线y=-1与曲线y=fx的两个交点，2p且MN=，则下列选项正确的是94ppA．w的值为3B．w的值为2C．j的值可以为D．j的值可以为3310．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22oC”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：oC）的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区有A．一个都没有B．甲地C．乙地D．丙地11．定义在R上的函数fx满足fx+f4+x=0，f2+2x是偶函数，f1=1，则A．fx是奇函数B．f2023=-1100C．fx的图象关于直线x=1对称D．åkf(2k-1)=-100k=112．如图，双曲线C:x2-y2=a2的左右顶点为A，B，P为C右支上一点（不包含顶点），ÐPAB=a，学科网（北京）股份有限公司ÐPBA=b，ÐAPB=g，直线l与双曲线C的渐近线交于F、G，M为线段FG的中点，则A．双曲线C的离心率为e=2B．P到两条渐近线的距离之积为a2C．tana+tanb+2tang=0D．若直线l与OM的斜率分别为k1，k2，则k1k2=1第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．5æaö13．若çx+÷的展开式中x的系数为15，则a=_________．èxø14．已知直线2x-y+1=0的倾斜角为a，则tan2a的值是_________．ì2x2,x„0,15．已知函数fx若方程2恰有两个不同的实数根，，则的最大值是=íx[]fx=ax1x2x1+x2îe,x>0,_________．16．已知数列an通项公式为an=n+t，数列bn为公比小于1的等比数列，且满足b1×b4=8，a+ba-bb+b=6，设c=nn+nn，在数列c中，若c„cnÎN*，则实数t的取值范围为23n22n4n_________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4且cos2ABCBC-cos2=2sinsin-sin．（1）若c=3，求sinC；（2）若BC边上的高是AH，求BH的最大值．æpöæ7pö18．（本小题满分12分）已知函数fx=sinwx+j+1çw>0,j„÷的图象经过ç,1÷，周期为è2øè12øp．（1）求fx解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ÐACB的角平分线交AB于D，若fC恰学科网（北京）股份有限公司为fx的最大值，且CD=fC，求4a+b的最小值．．（本小题满分分）设数列的前项和为，且*．1912annSnSn=1-nannÎN（1）求数列an的通项公式；(-1)n（2）设数列的前n项和为Tn，求T2n的表达式．an20．（本小题满分12分）某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N70,7.52，数学成绩的频率分布直方图如右图：（1）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）；（2）如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？（3）如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从（2）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．附参考公式：若x~Nm,s2，则p(m-sb>0)的离心率为，左、右顶点分别为A、B，a2b22点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，△PAB面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，且3k1=5k2．①求证：直线PQ经过定点．②设△PQB和PQA的面积分别为S1、S2，求SS1-2的最大值．122．（本小题满分12分）已知函数fx=xlnx-ax2-xaÎR．2学科网（北京）股份有限公司æ1ö（1）若函数fx在ç,+¥÷上为增函数，求实数a的最大值；èeømmx2e（2）若fx有两个极值点x1,x2x1恒成立，求正数m的取值范围ex1（e=2.71828L为自然对数的底数）．2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测数学参考答案一、选择题1．B2．D3．D4．C5．A6．C7．D8．B二、选择题9．AD10．BD11．ABD12．ACD三、填空题413．314．-15．3ln2-216．--4,23四、解答题17．解：（1）由cos2ABCBC-cos2=2sinsin-sin可得：1-2sin2ABCBC-1+2sin2=2sinsin-2sin2Þsin2BCABC+sin2-sin2=sinsin，b2+c2-a21即：b2+c2-a2=bcÞ=．2bc21p即cosA=，又AÎ0,p，\A=，2333´csinA33由正弦定理得：sinC==2=．a48（2）由题意，83æ2pöBH=BAcosB=2RsinCcosB=sinCcosç-C÷3è3ø43æ23ö43æpö2，=4sinCCCCCC-sincos=2-çsin2+2cos2÷=2-sinç2+÷3è3ø3è3ø学科网（北京）股份有限公司æ2pöpæp5pöQCCÎç0,÷Þ2+Îç,÷，è3ø3è33øp3p7p43\2CC+=Þ=时，BH取得最大值2+．3212318．解：（1）Q周期为p，\w=2，æ7pöæ7pöQ图象经过ç,1÷，\sinç+j÷=0，è12øè6ø7ppp\+j=kp,kÎZ，又j„，\j=-626æpö\fx=sinç2x-÷+1，è6ø（2）Qfx的最大值2，æpöæpö\fC=sinç2C-÷+1=2=CD，得sinç2C-÷=1，è6øè6øpæp11pöppQCÎ0,p，\-Î-2Cç,÷，\2C-=，6è66ø62p\C=，3，QSSS△ACD+△BCD=△ABC1p1p1p3\´2sin×b+´2sin×a=´a×bsin，即a+b=ab，2626232113\+=，ab2æ11ö2\4a+b=4a+bç+÷×èabø3æb4aö22b4a=ç5++÷´…5+4´=63，当且仅当=，即b=2a时取等号，èabø33ab3又a+b=ab，即当且仅当b=23，a=3时取等号，Q2所以4a+b的最小值为63．学科网（北京）股份有限公司119．解：（1）当n=1时，a=1-a，所以a=．1112当n…2时，Sn=1-nan，Sn--1=1-n-1an1．ann-1两式相减得：an=n-1an-1-nan，即=n…2．an-1n+1故．nn+1an=n-1nan--1=n-2n-1an2=L=1´2a1=11故a=．nnn+1n(-1)n（2）令cn==(-1)nn+1，bn=c2n-1+c2nan则bn=c2n-1+c2n=-2n-12n+2n2n+1=4n，Qbn+1-bn=4n+1-4n=4\bn为等差数列．nb+bn4+4n\T=b+b+b++b=1n==2nn+1．2n123Ln2220．解：（1）数学成绩的平均分为0.012´+450.020´+550.025´+650.035´+750.006´+850.002´´=951065.9，根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分，所以语文平均分高些．1（2）因为语文成绩优秀的概率为p=PX…85=1-0.96´=0.02，12æ1ö数学成绩优秀的概率为，p2=ç0.006´+0.002÷´10=0.05è2ø所以语文成绩优秀人数为200´0.02=4，数学成绩优秀人数为200´0.05=10．（3）语文数学两科都优秀的有4人，单科优秀的有6人，X所有可能的取值为0，1，2，3．C31CC121CC213C316，46，46，4．PX=0=3=PX=1=3=PX=2=3=PX=3=3=C106C102C1010C1030X的分布列为X01231131P621030学科网（北京）股份有限公司11316所以X的数学期望EX=0´+1´+2´+3´=．621030521．解：（1）当点P为椭圆C短轴顶点时，△PAB的面积取最大值，11且最大值为AB×b=´2ab=ab=2，22ìc3=ïìa=2ïa22ïïx2由题意可得íab=2，解得íb=1，所以，椭圆C的标准方程为+y=1．4ïc2=a2-b2ïïîc=3îï（2）①设点Px1,y1、Qx2,y2．若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于y轴对称，则k1=-k2，不合乎题意．设直线PQ的方程为x=ty+n，由于直线PQ不过椭圆C的左、右顶点，则n¹±2，ìx=ty+n联立可得222，í22t+4y+2tny+n-