高三第一次调研考试数学试题命题人：分宜中学 谢平 新钢中学 邹进辉 审题人：刘勇刚说明：1．本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数的定义域为集合A，集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数z满足：，则（）A．1 B． C． D．53．在中，“”是“为直角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（）A． B． C． D．5．如图，（）A． B． C． D．6．已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（）A． B． C． D．7．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（）A． B． C． D．8．已知三棱锥的棱长均为6，其内有n个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），则球的表面积等于（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A．频率分布直方图中a的值为0.005B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在内的学生人数为22510．已知定义在R上的函数满足，且函数为奇函数，则（）A．是周期函数 B．为R上的偶函数C．为R上的单调函数 D．的图像关于点对称11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（）A．若，则M为的重心B．若M为的内心，则C．若M为的垂心，，则D．若，，M为的外心，则12．已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（）A．一定不是正方体 B．外接球的表面积为C．长、宽、高的值均属于区间 D．体积的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线与圆相切，则实数______．14．已知正实数x，y满足方程，则的最小值为______．15．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项，并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务，其中每个项目至少一名志愿者，甲必须在霹雳舞项目，则不同的志愿服务方案共有______种．16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______．四、解答题：（本大题共6小题，17题10分，18～22题各12分，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．（1）求A；（2）若D为的中点，且，求的面积．18．如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且．（1）证明：平面．（2）求平面与平面的夹角的大小．19．在平面直角坐标系中，动点P到点的距离等于点P到直线的距离．（1）求动点P的轨迹方程；（2）记动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，，直线的斜率为，直线的斜率为．证明：为定值．20．魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议，在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．（1）小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了X局比赛，求X的分布列和数学期望；（2）小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？21．已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）记，其中，求数列的前2n项和；（3）记，其前n项和为，若对恒成立，求的最小值．22．已知函数，且．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且存在三个零点，，．（i）求实数a的取值范围；（ii）设，求证：．高三数学试题卷参考答案一、单选题（每小题5分，共40分）题号12345678答案DADBCACD二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ADABDABCABD三、填空题（每题5分，共20分）13．7或 14． 15．50 16．四、解答题（共70分）17．（1）因为，所以，由正弦定理得，化简得．因为，，所以．因为，所以．（2）因为D为的中点，所以中所，等式两边平方得，即①．在中，由余弦定理得②，联立①②解得，所以．18．（1）取中点F，连接，，都是边长为2的正三角形，，，，又，面，面，面，又平面平面，面且又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面（2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系由于x轴垂直面平面的法向量为又，，，设平面的法向量，则，令，则，，所以平面与平面的夹角为19．（1）因动点P到点的距离等于点P到直线的距离，故可知动点P的轨迹是抛物线，设其方程为，由题意得，故动点P的轨迹方程为：．（2）如图，因直线l的斜率不能为零（否则直线l与抛物线只有一个公共点），又过点，可设，由消去x并整理得：，显然，设，，则由韦达定理，，（*）则，将（*）代入得：，故为定值0.20．（1）因为采用三局两胜制，所以X的可能取值为2，3，表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；所以，，所以X的分布列为：X23P则X的数学期望为．（2）若小王选择“三局两胜制”，则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；则小王获胜的概率为；若小王选择“五局三胜制”，则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；则小王获胜的概率为，因为，所以小王应选择“五局三胜制”．21．（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，，，所以，解得，，既是和的等差中项，又是其等比中项，得，，解得，即，所以，．（2），．又，①②①减②得：，．（3），，，则是首项为公比为的等比数列，，，令，，当n为奇数时，，且递减，可得的最大值为，当n为偶数时，，且递增，可得的最小值为，所以的最小值为，最大值为，因为，对恒成立，所以，所以，所以的最小值为．22．（1）当时，则，又，所以，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）（i）因为，且存在三个零点，，，所以有3个根，当时，，，，所以在上是单调递增，由零点存在定理，方程必有一个负根，当，，即有两个根，令，可转化为与有两个交点，，可得时，即在单调递增，可得时，即在单调递减，其中，当，，所以可得，解得．（ii）因为，且存在三个零点，，，设，，，，易知其中，，因为，所以，所以，，，故可知①；由（i）可知与有两个交点，当，是单调递增，所以，，，所以②；即，，若，则，若，构造函数，，则，设，则，因为，又因为，，，，所以③；因为，又因为，，，，所以，；，，即得④；由③④可知，在上单调递增，又可得，，可知与同号，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即，又由（i）可知，所以，，，，，是单调递增，所以，⑤，由①②⑤可知．