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高三数学开学摸底考02(新高考专用)(解析版)
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2024届高三下学期开学摸底考02(新高考专用)数学(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第I卷(选择题)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.已知全集,集合,,则(    )A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【分析】根据题意,先解不等式求集合,再利用集合的交集运算求,进而利用集合的补集运算可求.【详解】因为,,所以,所以或.故选:A.2.已知,复数的实部与虚部相等,则a=(    )A. B. C. D.2【答案】B【分析】根据复数的运算法则,求得,结合题意,列出方程,即可求解.【详解】由复数,因为复数的实部与虚部相等,所以,解得.故选:B.3.已知数列是等差数列,数列是等比数列,若,则(    )A.2 B. C. D.【答案】C【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解.【详解】由题意可得,解得,所以.故选:C.4.调和信号是指频率恒定的一种信号,三角函数性质可以表达调和信号的周期性,指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为,它的图象大致为(    )A. B.C. D.【答案】B【分析】根据函数在内的零点个数和奇偶性判断.【详解】解:令,则,,解得,则在内有两个零点,故排除选项A,D,又不具有奇偶性,则图象既不关于原点对称,也不关于y轴对称,故排除选项C,故选:B5.已知函数满足对任意的,均有,且在上单调,则的最大值为(   )A. B. C. D.【答案】C【分析】先根据得出的关系式,再根据单调性确定的范围,最后求出最大值即可.【详解】由于对任意的,均有,所以在处取得最小值,点是图象的一个对称中心,所以,两式相减得,即.因为在上单调,所以,即,,因此当时,取得最大值.故选:C.6.已知向量.若存在,使得,则(    )A.0 B. C. D.【答案】B【分析】根据向量的模长运算可得,即可根据数量积的坐标运算结合三角恒等变换得,进而可求解;或者利用向量数量积的性质判断同向共线,即可得求解.【详解】方法一:由得,即,所以,则.又,,所以,即.方法二:由得,所以向量同向共线,所以.又,所以.故选:B.7.已知关于x的不等式恰有一个整数解,则实数k的取值范围为(    )A. B.C. D.【答案】D【分析】第一步:将不等式进行合理变形,关于x的不等式恰有一个整数解.第二步:构造函数,研究新函数的性质,作出函数的图象,根据图象求解;【详解】设,,则,当时,,当时,,在区间上单调递增,在区间上单调递减.当时,,当x趋近于时,趋近于0,,直线过点,在同一坐标系中作出直线和函数的图象如图所示.由图象知,要使关于x的不等式恰有一个整数解,则,解得,故选:D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点,记点关于轴的对称点为点,若,则双曲线的离心率为(    )A. B.2 C. D.【答案】B【分析】画出图形,由已知条件和几何关系确定,进而确定点,又点在直线上,代入即可求出,最终算出离心率.【详解】设,连接,与轴交于点,由对称性可知,又,所以是正三角形,且.因为,所以,所以,所以,所以,又点在直线上,故,所以,所以.故选:B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.已知平面向量,,,,,,且,则(    )A.与的夹角为B.的最大值为5C.的最小值为2D.若,则的取值范围【答案】ACD【分析】利用平面向量的数量积公式求解选项,设,,,根据已知条件求出向量,,建立直角坐标系,将转化为即可求其最大值;根据图形可知点的轨迹,利用几何性质即可求出的最小值;设出点的坐标,根据已知条件,转化为三角函数求最值的问题求解.【详解】对于A,由于,,,则,则,由于向量夹角范围为大于等于小于等于,故与的夹角为,则A正确;对于B,设,,,则,,不妨设,,由于,即,故△为等腰三角形,则,故,因为,所以,则点C在以为弦,且使得的两个优弧上,如图示:故C点所在优弧所在的圆的直径为,则其半径为,设该圆的方程为,将坐标代入,得,解得或,则两优弧所在圆的圆心为,,且两个圆心关于直线对称,设的中点为M,则,而到弦AB的距离为,故的最大值为,则的最大值为6,即的最大值为6,则B错误;对于C,即为,结合C点轨迹可知当C在圆上的那条优弧上运动时,会取到最小值,由于,故的最小值为,即的最小值为2,则C正确;对于D,结合以上分析可知,当C在圆上的那条优弧上时,圆的方程为,设,其中,则由可得,解得,即,所以,当C在圆上的那条优弧上时,圆的方程为,设,其中,则由可得,解得,即,所以,综上所述,的取值范围,则正确;故选:.10.下列关于随机变量的说法正确的是(    )A.若服从正态分布,则B.已知随机变量服从二项分布,且,随机变量服从正态分布,若,则C.若服从超几何分布,则期望D.若服从二项分布,则方差【答案】ACD【分析】A选项,先得到,进而根据方差的性质得到答案;B选项,根据二项分布求出概率,得到方程,求出,再根据正态分布的对称性求出概率;C选项,根据超几何分布的期望公式求出答案;D选项,由二项分布方差公式求出D正确.【详解】对A,由于,所以,根据方差的性质,,故A正确;对B,服从二项分布,∴,解得,∴,根据正态分布的对称性可得,,故B错误;对C,服从超几何分布,根据超几何分布的期望公式,,故C正确;对D,服从二项分布,根据二项分布方差公式得,,故D正确.故选:ACD.11.在棱长为2的正方体中,,点M为棱上一动点(可与端点重合),则(    )A.当点M与点A重合时,四点共面且B.当点M与点B重合时,C.当点M为棱的中点时,平面D.直线与平面所成角的正弦值存在最小值【答案】BD【分析】根据题意,证得,得到四点共面,且四边形为等腰梯形,求得梯形的面积,可判定A不正确;证得,设,在直角中,求得,可判定B正确;以为原点,建立空间直角坐标系,结合,可判定C不正确;设,求得平面的法向量,结合向量的夹角公式,求得,可判定D正确.【详解】对于A中,由棱长为2的正方体中,,可得点为的中点,且点为的中点,可得,当点和点重合时,可得,所以,所以四点共面,且四边形为等腰梯形,又由,可得梯形的高为,所以四边形的面积为,所以A不正确;对于B中,由点为的中点,且点为的中点,可得,当点与点重合时,则异面直线与所成的角,即为直线与所成的角,设,在直角中,,可得,可得,又由,所以,所以B正确;对于C中,以为原点,以所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因为正方体的棱长为,当点为棱的中点时,可得,可得,则,所以与平面不垂直,所以C不正确;对于D中,由C中的空间直角坐标系,设,可得,则,设平面的法向量为,则,取,可得,所以,设直线与平面所成角为,可得,当时,可得,即直线与平面所成角的正弦值存在最小值,所以D正确.故选:BD.12.定义在上的函数同时满足:①,;②,,则下列结论正确的是(    )A.B.为偶函数C.存在,使得D.任意,有【答案】ACD【分析】对于A:根据题意令分析运算即可;对于B:根据题意求,结合偶函数的定义分析判断;对于C:利用累加法分析判断;对于D:设,分析可知是以1为周期的周期函数,且,结合绝对值的性质分析求解.【详解】对于选项A:因为,令,则,即,又因为,,即,可知,即,解得,故A正确;对于选项B:由选项A可得令,则,即,可知,所以不为偶函数,故B错误;对于选项C:因为,且,当时,则,且符合上式,所以,,令,则,即存在,使得,故C正确;对于选项D:令,则,即,即是以1为周期的周期函数,因为当,,则,结合周期性可知对任意,均有,所以,故D正确;故选:ACD.第II卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若展开式中的系数为,则.【答案】【分析】由题意得,结合二项式展开式的通项公式建立方程,解之即可求解.【详解】由题意知,,展开式的通项公式为,所以含的项的系数为,则,即,解得.故答案为:2.14.已知函数(,)的部分图象如图所示.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象,则的值为.【答案】【分析】根据图象可知半个周期,求得,代入点的坐标结合已知可求得,再利用图象平移即可得出的解析式,进而求出.【详解】由图象可知的周期为,解得,代入可得,解得,又,所以,故,左移个单位长度得,故.故答案为:15.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点,则下列判断正确的序号是.①若过点,则的准线方程为        ②若过点,则③若,则点的坐标为④若,则.【答案】①②④【分析】对于①项,求出点的坐标即可验证;对于②项,联立方程,由抛物线定义以及韦达定理表示出相应的弦长即可;对于④,联立方程,由韦达定理以及数量积的坐标形式即可求出的值从而验证;对于③项,由④中分析即可验证;由此即可得解.【详解】如下图所示:  设,对于①项,若过点,则点的坐标为,所以,  故抛物线的准线方程为,故①正确;对于②项,由①可得的方程为,与的方程联立消去并整理得,则,,根据抛物线的定义,可得,,,所以,所以,故②项正确;如下图所示:    对于④,将的方程与的方程联立,得,所以,,设,则,所以,即,由得,即,所以,所以,故④正确对于③项,由④中分析可知,,所以焦点,故③错误.综上所述:正确的序号是①②④.故答案为:①②④.16.如图,正方体的棱长为,点是平面内的动点,,分别为的中点,若直线与直线所成的角为,且,则动点的轨迹所围成的图形的面积为.  【答案】/【分析】第一步:作辅助线,找到直线BP与MN所成的角,第二步:求点P到的距离,得到点P的轨迹,即可得解.【详解】如图,连接,因为M,N分别为的中点,所以,(三角形中位线定理的应用)因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角,在正方体中,可得,因为平面,平面,可得,又因为且平面,所以平面,因为平面,所以,同理可得,因为,且平面,所以平面,故.设与平面的交点为G,连接PG,所以,因此在中,,因为,所以,又三棱锥,所以,则,所以点P的轨迹是以G为圆心,为半径的圆,其面积.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17.(10分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用已知条件求,根据已知的递推关系得是等差数列,利用等差数列的知识求的通项公式;(2)求数列的通项公式并裂项,利用裂项相消法求和,可得答案.【详解】(1)在中,令得.因为,所以.由,得3),将两式作差并整理,得,所以数列是等差数列.设数列的公差为,则.故.(2)由(1)知,设数列的前项和为,则.18.(12分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若为的中点,且.(1)求;(2)若,,求的面积.【答案】(1);(2).【分析】(1)法一:应用向量基本定理及数量积运算律得,结合已知和余弦定理列方程求余弦值;法二:由余弦定理及,结合已知求余弦值;(2)应用正弦定理求,利用三角形内角性质及正弦和角公式求,最后由三角形面积公式求面积.【详解】(1)法一:由为中点得,则,即,则,故,由余弦定理得,故,易知,所以.法二:在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,由,则,即,故,又,所以,即,由余弦定理得.(2)由且,得,由正弦定理得,故,又,所以的面积为.19.(12分)三棱柱中,别为中点,且.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明详见解析(2)【分析】(1)建立空间直

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