2024年高考数学第一次模拟考试（七省新高考）数学·参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678ABACDDCB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112ACBDBCABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．14．15．或（写出一个即可）16．四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：(1)因为，由正弦定理得，（1分）因为，所以，（2分）所以，（3分）可得.（4分）(2)，（5分）∵，可得（6分）在△ABC中，由余弦定理得，（7分）∴，（8分），，（9分）∴a，c可看作一元二次方程的两不等实根，∵∴.（10分）18．解:（1）当时，，．（1分）当时，，（2分）整理得，又，（4分）所以，即数列是以为首项、为公比的等比数列，（5分）；（2）由（1）知，，，（6分）所以，，，（7分）由数列是等比数列，则，故，解得，（8分）再将代入式，得．（9分）因为，所以数列为等比数列，故满足要求；（10分）由于，满足条件①；（11分）又由于，故存在满足条件②．故数列为数列．（12分）19．解：（1）由题设，△为等边三角形，则，又四边形为梯形，，则，（1分）在△中，，即，（2分）面面，面面，面，则面，（4分）又面，故.（5分）（2）若为中点，，则，面面，面面，面，则面，连接，则，且面，故，综上，，两两垂直，（6分）构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，所以，，，，若且，则，（7分）而面的一个法向量为，，所以，可得，故，（9分）所以，，，若是面的一个法向量，则，取，（10分）若是面的一个法向量，则，取，（11分）所以，（仅写到这里扣1分）由图知：锐二面角的余弦值.（12分）20．解：(1)由题可得．（1分）（只写对1个也给1分），（2分）则（4分）（5分）所以（6分）(2)由题可知的所有可能取值为，，，，（7分），，（10分）则X的分布列为∴．（12分，分布列正确得1分）21．解：（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，（1分）所以双曲线的方程为，联立直线与双曲线的方程，消去得，（2分）即，因为与双曲线C仅有一个公共点，所以，（3分）解得,（4分）故双曲线的方程为.（5分）（2）设，，则满足消去得，所以，，（6分）如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，则AH的方程为.（7分）代入得，即（舍去）或.（8分）所以点H为.所以（9分），（11分）所以，故为的垂心，得证.（12分）22．解：（1）的定义域是，，（1分）①时，，在单调递增，（2分）②时，，令，解得；令，解得，故在递减，在递增，（4分）综上：时，在单调递增，时，在递减，在递增.（5分）（答题步骤中已经写有单调区间，则没写综上不扣分）（2）要证，即证，，①当时，，，该不等式恒成立；（6分）②当时，，结合，得，只需证明：，即证，（7分）令，，（8分）令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，（10分）又，，，，所以当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，（11分）所以，问题得证，即当时，恒成立．综上所述，当时，恒成立．（12分）