如皋市2024届高三1月诊断测试数学试题 2024.1注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂准考证号.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.试卷共4页，共19小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟. 命题：马超 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．抛物线的焦点坐标为（▲）.A. B. C. D.在等比数列中，，，且前x项和，（▲）.A.4 B.5 C.6 D.7已知m，n表示两条不同直线，表示平面，则（▲）.A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（▲）种停放方法.A.72 B.144 C.108 D.96已知的边BC的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（▲）.A.5 B.7 C.9 D.11函数的图象为椭圆轴上方的部分，若，，成等比数列，则点的轨迹是（▲）.A.线段（不包含端点） B.椭圆一部分C.双曲线一部分 D.线段不包含端点和双曲线一部分已知，，则（▲）.A.3 B. C. D.2双曲线C：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，若C上一点T满足，则T到C的两条渐近线距离之和为（▲）.A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．已知复数是关于x的方程的两根，则（▲）.A. B.C. D.若，则若函数，则（▲）.A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的最小值为 D.的单调递减区间为，设a为常数，，，则（▲）.A. B.恒成立C. D.满足条件的不止一个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是▲.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为▲时，圆锥的体积最大，最大值为▲.函数的最小值▲.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.（本小题满分13分）设，曲线在点处取得极值.（1）求a；（2）求函数的单调区间和极值.（本小题满分15分）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，，，且平面平面（1）证明：平面平面；（2）设点P为直线BC的中点，求直线与平面所成角的正弦值.（本小题满分17分）已知抛物线E：的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；（2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于（本小题满分17分）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量. 设，，，定义加法和数乘：，. 对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①，； ②，，； ③，，，（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则