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广东省部分学校2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题
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高三数学注意事项:1.答题前,考生务必将自已的姓名,为生号,考场号,座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:高考全部内容.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=-1,0,1,2,B={x|x-1>1},则ABÇ=()A.0B.-1C.-1,0,1D.-1,0,1,22.3+2i2-2i=()A.-10+2iB.--102iC.10+2iD.10-2i3.已知f2x=x,则f3=()A.8B.9C.log23D.log324.国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示,则下列说法正确的是()农村居民消费水平´农村人口数+城镇居民消费水平´城镇人口数(居民消费水平:)农村人口数+城镇人口数A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高B.2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504元D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多æπöæπöæπö5.已知sinça-÷+cosça-÷=sina,则tança-÷=()è4øè4øè4ø学科网(北京)股份有限公司2A.0B.1C.-1D.26.某班级举行“变废为宝”手工活动,某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后,制成了简易笔筒(如图2)的侧面,在它的轨截面ABCD中,AB=AD=10cm,CD=15cm,则原扇形纸壳中扇形的圆心角为()ππππA.B.C.D.32467.过原点O的直线l:y=kx与圆M:x2-6x+y2-6y+16=0交于AB,两点,且OA=AB,则k=()1A.1B.2C.D.22æπö8.已知函数fx=sinwx+j(w>0),若任意jÎR,fx在ç0,÷上有零点,则w的取值范围为è2ø()A.0,+¥B.1,+¥C.2,+¥D.3,+¥二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.x2y29.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为FFO1,,2为坐标原点,直线y=b与双曲线Ca2b2的渐近线交于点AB,(A在第二象限,B在第一象限),下列结论正确的是()A.BF1^BF2B.BF2∥AOC.若VOAB的面积为2,则双曲线C的焦距的最小值为4D.若VOAB的面积为2,则双曲线C的焦距的最小值为8学科网(北京)股份有限公司10.如图,三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14,L排列而成,按照此规律,下列结论正确的是()A.数阵中前7行所有数的和为1190B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101C.数阵中第10行的第1个数是137D.数阵中第10行从左至右的第4个数是14611.已知定义在R上的函数fx满足fxëéfx-fx-yûù=fxy,当xÎ-¥,0È0,+¥,时,fx¹0.下列结论正确的是()æ1ö1A.fç÷=B.f10=1è2ø2C.fx是奇函数D.fx在R上单调递增三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.2æpö12.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点Pç,a÷在抛物线C上,且PF=3,则p=è4ø__________.13.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计赢2局者胜,分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的3概率为,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为__________,本次比赛甲获胜的5概率为__________.14.如图,将正四棱柱ABCD-A1B1C1D1斜立在平面a上,顶点C1在平面a内,AC1^平面aa,AA1=2AB=6.点P在平面内,且PC1=3.若将该正四棱柱绕AC1旋转,PC的最大值为__________.学科网(北京)股份有限公司四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知正项等比数列an满足a1+a2=6,a1a3=a1.(1)求an的通项公式;M+m(2)记a的前n项中最大值为M,最小值为m(规定:M=m=a),令b=nn,求数列nnn111n2bn的前n项和Sn.16.(15分)将3个数字1,2,3随机填入如下99个空格中,每个空格中最多填一个数字,且填入的3个数字从左到右依次变大.(1)求数字2填在第2个空格中的概率;(2)记数字2填在第x个空格中的概率为Px,求Px的最大值.17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA^AC,,BD^PCPA=AB.学科网(北京)股份有限公司(1)证明:PA^平面ABCD.uuuruuur(2)若PC=4PE,ÐABC=60o,求二面角A--BDE的余弦值.18.(17分)x2y21已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F1,0,且离心率为a2b22(1)求椭圆C的方程;2æ3ö225(2)过点F的直线l与椭圆C交于AB,两点,证明,圆çx-÷+y=恒与以弦AB为直径的圆相切.è4ø1619.(17分)已知函数fx=2x-a.(1)若曲线y=fx在点a,fa处的切线过点4,2,求a的值;(2)若fx„aex-1恒成立,求a的取值范围.学科网(北京)股份有限公司高三数学参考答案1.BBAB=-¥,0È2,+¥,Ç=-1.2.D3+2i2-2i=6-6i+4i-4i2=10-2i.x3.C令2=3,可得x=log23,则f3=log23.4.D2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高,A错误.2019年的城镇居民消费水平比2020年的城镇居民消费水平高,B错误.2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为25245,27439,27504,31013,31718,5´60%=3,2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504+31013=29258.5元,C错误.设我国农村人口数为x,城镇人口数为y,则219530x+38289yy12188331718=,化简得=>,所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍x+yx65712还要多,D正确.æπöæπö5.C因为sinça-÷+cosça-÷=2sina,所以2sina=sina,则sina=0,即a=kπ,kÎZ,è4øè4øæπöæπö所以tança-÷=tançkπ-÷=-1.è4øè4ø6.B延长CB,DA交于点O,设圆台上、下个底面的闪心分别为OO2,1.连接OO1,rOB设OB=x,,OB=rOC=R.因为OOB∽OOC,所以=,21VV21ROC2πrπ则x=20cm.设所求圆心角为q,则xq=2πr,所以q==.x2学科网(北京)股份有限公司7.A圆M:x2-6x+y2-6y+16=0,即圆M:(x-3)2+(y-3)2=2,圆心M3,3到直线l的距离为d,AB的中点为C.因为OA=AB,所以OC=3AC.因为OM=32+32=32,所以OC=|OM|2-d2=18-d2.又因为AC=2-d2,所以18-d2=32-d2,解得d=0,所以3-0直线l经过圆心M3,3,所以k==1.3-0æπwö8.C令t=wx+j,由题意可得sint=0在çj,+j÷上有解.è2øπw因为sint=0在a,b内有解的最短区间长度为b-a=π.所以+j-j>π,解得w>2.29.ACOB=c=OF1=OF2,点B在以O为圆心,OF1为半径的圆上,所以BF1^BF2,A正确.直线bbbbBF的斜率为-,直线AO的斜率为--,与-不一定相等,所以直线BF与直线AO不一定2c-aac-aa21平行,B错误.OAB的面积为×2a×b=ab=2,双曲线C的焦距为2c=2a2+b2…22ab=24=4,V2当且仅当a=b=2时,等号成立,所以双曲线C的焦距的最小值为4,C正确,D错误.设等差数列的通项公式为b3n1数阵中前行共个数,10.ACD2,5,8,11,14,Ln=-.71+2+3+L+7=2828´27´3数阵中前7行所有数的和为2´28+=1190,A正确.2令bn=3n-1=101,解得n=34,前7行共28个数,第8行有8个数,所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数,B错误.记每一行的第1个数组成数列an,则a1=2,a2-=a13,a3-==´a2632,a4-==´a3933,,Lan-an-1=´-3n1,累加得学科网(北京)股份有限公司3nn-13n2-3n+4a-a=3´1+2+3++n-1=,所以a=,a=137,C正确.数阵中第10行n1L2n210从左至右的第4个数是137+4-1´3=146,D正确.11.ACD令x=y=0,可得f0=0.令x=y=1,可得[f1]2=f1.因为当x>0时,fx¹0,所以f1=1.令x=y,可得[fx]2=fx2…0.因为x2…0,所以当x…0时,fx…0.又因为当x>0时,fx¹0,所以当x>0时,fx>0.令y=1,可得fxëéfx-fx-1ûù=fx,①所以fx-fx-1=1,fx+1-fx=1,两式相加可得fx+1-fx-1=2.令y=-1,可得fxëéfx-fx+1ûù=f-x.②①-②可得fxëéfx+1-fx-1ûù=fx-f-x,化简可得fx=-f-x,所以fx是奇函数,C正确.由fx-fx-1=1,可得f2=f1+1=2,f3=f2+1=3,f4=f3+1=4,L,f10=10,B错误.ìæ1öæ1öïfç÷-fç-÷=1,ïìfx+1-fx=1,ïè2øè2øæ1ö1由í可得í解得fç÷=,A正确.îïfx=-f-x,ïæ1öæ1öè2ø2fç÷=-fç-÷,îïè2øè2øfx1x1-x2令x=x1,y=x1-x2,可得fx1-fx2=.fx1令00,x1x1-x2>0.因为当x>0时,fx>0,所以fx1>0,fx1x1-x2>0,fx1x1-x2所以fx1-fx2=>0,即fx1>fx2,fx1所以fx在0,+¥上单调递增.学科网(北京)股份有限公司因为fx为奇函数,所以fx在R上单调递增,D正确.pp12.4PF=+=3,解得p=4.42128113.;(本题第一空2分,第二空3分)到第3局才分出胜负,则前两局甲、乙各赢一局,其概率251253212为C1´´=.25525若甲获胜,分2种情况:339①甲连赢2局,其概率为´=,5525132336②前两局甲、乙各赢一局,第三局甲赢,其概率为C´´´=.255512593681故甲获胜的概率为+=.2512512514.51过点C作CE^AC1,垂足为E,连接AC.易得CE∥平面a,a所以点C到平面的距离为C1E.AC=32,AC1=22AC×CC1AC+CC1=36,CE==23,C1E=AC122过点作平面a,垂足为(图略)当CCP¢,,三点共线,且CC1-CE=26.CCC¢^C¢.1CPCCCP¢=¢+时,取得最大值,最大值为222211PCCE1+CC¢1+CP1=CE1+CECP+1=51.ìa+aq=6,q1115.解:(1)设an的

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