江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学参考答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BCDACBDC1.【答案】B；2.【答案】C；3.【答案】D4.【答案】A由，得，即，所以.5.【答案】C；6.【答案】B7.【答案】D【详解】丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率是，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是，两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是.综上，概率为，D正确．8.【答案】C【详解】因为为偶函数，，所以，对两边同时求导，得，所以有所以函数的周期为，在中，令，所以，因此，因为为偶函数，所以有，，由可得：，所以.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.题号91011答案ADBCDABD9.【答案】AD【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，这组数据的方差是，故B错误；对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；对于D，依题意，，则，所以数据的标准差为16，D正确.10.【答案】BCD11.【答案】ABD【详解】对于A项，如图所示，连接对应面对角线，根据正方体的性质可知：，平面，平面，∴平面，同理可知平面，又平面，∴平面平面，又，∴平面，∴平面，故A正确;对于B项，易知面，面，则，又平面，∴平面，而平面，∴，同理，又平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面，故B正确;对于C项，因为为定直线，是定角，到的距离为定值，所以时，在以为旋转轴，到的距离为半径的圆锥上，又平面，故平面截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C错误；对于D项，设中点分别为N，Q，则点A的运动轨迹是平面内以N为圆心，为半径的圆(如图)，    易知平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，而，设与圆的交点分别为E，F(点E位于点F，Q之间，如上图所示)，易知当点A分别位于点E，F时，点A到平面的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值，距离的最大值，∵的面积，故选项D正确．综上，正确选项为ABD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【详解】二项式的展开式通项公式为，当时，，当时，，因此展开式中含的项为，故所求系数为.13.【答案】.14.【答案】.四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.(13分)解(1)由题可得：CD=2BD，故…………………2分又,即，，即………………4分在中，根据余弦定理得即…………………6分，即，…………………7分(2)，…………………8分，即又，①…………………11分又②，由①②得：…………………12分…………………13分16.(15分)(1)证明：在中，………1分过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，则，∴≌，即OD=OB=3………………3分又又OD⊥AC，………………5分又∴平面ACD⊥平面ABC…………………6分(2)由(1)知，OA、OB、OD两两垂直，以O为原点建立坐标系，，………………8分设是平面ABE的一个法向量则，…………………12分而是平面ABC的一个法向量，………………14分设二面角平面角的大小为，则………………15分17.(15分)解(1)设，由题可知，………………2分又，由…………………4分，，…………………5分………………6分（2)由题可知，直线MA的方程为：联立方程可得：=45>0………………7分，………………8分又，，同理可得点D的坐标为………………9分(i)当直线CD垂直于x轴时，，即,，此时直线CD的方程为………………10分(ii)当直线CD不垂直于x轴时，………………11分故直线的方程为………………12分令y=0，则整理得，此时直线经过定点……………14分综上，直线经过定点………………15分另解：(ii)当直线CD不垂直于x轴时，由对称性知定点在轴上，设由C、D、Q三点共线知化简得：，则此时直线经过定点……………14分综上，直线经过定点………………15分解法二：(1)设，则，∵A、C、M三点共线，∴，…………………2分同理：，∴…………………4分又点在曲线E上，∴，代入上式得：………………6分(2)由又，∴…………………8分由题可得直线CD显然不与x轴平行设直线CD的方程为：由得…………………9分…………………11分又…………………13分由…………………14分∴直线CD：，∴直线经过定点…………………15分18.(17分)解(1)若n=2，X的取值为0，1，2，Y的取值为0，1，2，…………………1分则P（X=0，Y=0）=，…………………2分P（X=0，Y=1）=…………………3分P（X=0，Y=2）=，P（X=1，Y=0）=…………………4分P（X=1，Y=1）=P（X=2，Y=0）=…………………5分P（X=1，Y=2）=P（X=2，Y=1）=P（X=2，Y=2）=0…………………6分故（X，Y）的联合分布列为（X，Y）012010200…………………7分(2)当…………………9分故…………………11分=…………………13分所以，…………………15分由二项分布的期望公式可得.…………………17分19.(17分)解(1)若，则，所以，所以，又，………………2分所以的图象在处的切线方程为，即.………………3分(2)(i)由题意知.令，则.因为有两个极值点，，所以有两个不等正实根，.若，，则在上递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意；………………5分若，令，解得，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减.所以时，取得极大值，即最大值为，………………6分所以，解得.………………7分当时，，又，所以，由零点存在性定理知：存在唯一的，使得.………………8分又，令，所以，所以当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，所以，所以，由零点存在性定理知：存在唯一的，使得.………………10分所以当时，有两个不等正实根，.综上，的取值范围是.………………11分(ii)证明：由①知，且，所以，因为在上为增函数，及，所以，…………………12分又，所以.………………13分因为，，所以，，所以，所以.………………14分令，所以，所以在上递增，因为，所以，所以，即，所以，………………16分所以，即.所以.………………17分