柳州高中、南宁三中2024届一轮复习诊断性联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A=1,3,4，集合B=2,3,4,6，则如图中的阴影部分表示(    )A.3,4B.1C.2,6D.1,2,3,4,6【答案】C【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于B不属于A的元素组成的集合，又A=1,3,4，B=2,3,4,6，所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是2,6.故选：C.2.已知命题p：∃x∈R,lgx+x≥3，则¬p为()A.∀x∈R,lgx+x<3B.∃x∈R,lgx+x<3C.∀x∈R,lgx+x≥3D.∃x∈R,lgx+x≤3【答案】A【详解】命题p是存在量词命题，所以¬p是“∀x∈R,lgx+x<3”。故选A.3.一组数据从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,17,18,22,26经计算，则75%分位数是(）A.18B.20C.21D.22【答案】B18+22【解析】因为8×75%=6,故75%分位数是第6个和第7个的平均数，则=202π34.若cosα+=，则sin2α=(    )457799A.B.-C.D.-25252525【答案】Aπ2π2π32427π7【详解】cos2α+=cosα+-sinα+=-=-,所以sin2α=-cos2α+=.4445525225故选：A5.已知f(x)=cosx为奇函数，则a=()(x2+3x)(x+a)A.3B.-3C.0D.-1【答案】B【详解】由（x2+3x)(x+a)≠0⇒x≠0且x≠-3且x≠-a.因为该函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，因此cos(-x)-a=3⇒a=-3,即f(x)=cosx=cosx=cosx.因为f(-x)==-cosx=-f(x),(x2+3x)(x-3)x(x+3)(x-3)x(x2-9)-x(x2-9)x(x2-9){#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}所以该函数是奇函数，符合题意。故选B.6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．2过点P22,5且平行于y轴的一条光线射向抛物线C：x=4y上的A点，经过反射后的反射光线与C相交于点B，则AB=(    )79A.B.9C.36D.22【答案】D2【详解】解：由题意得点A的坐标为22,2，C的焦点为F0,1，所以直线AB的方程为y=x+1，与抛物线42225方程x=4y联立，消去y得x-2x-4=0，由韦达定理得x+x=2，所以y+y=x+x+2=，ABAB4AB29所以由抛物线的定义得AB=y+y+2=．故选：DAB27.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”.已知an是“和差等比数列”，a1=1，a2=3，则满足使不等式an>100的n的最小值是(    )A.8B.7C.6D.5【答案】Can+1+ana2+a1an+1【详解】依题意，==2，得=3，则数列an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an=1⋅an+1-ana2-a1ann-1n-16-13=3，检验知，当n≥6时，3=243>100成立，所以n的最小值是6.故选：C.8.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题1目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都2做对的概率为(）1735A.B.C.D.4321632【答案】D121【详解】若该同学从中选到2道有思路的，则都做对的概率为()=，24111若该同学从中选到1道有思路的和1道完全没有思路的，则都做对的概率为×=,248121若该同学从中选到2道完全没有思路的，则都做对的概率为()=416所以由全概率公式，若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为2112C31C3C21C213161113312552×+2×+2×=×+×+×=++==C54C58C5161041081016404016016032故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数z满足zi=1-i,则下列命题正确的有(    )A.z的虚部是-1B.z=2C.z2=2D.z是方程x2+2x+2=0的一个根【答案】ABD【详解】zi=1-i⇒z=-1-i，故A,B正确;z2=(-1-i)2=2i，故C错误;而(-1-i)2+2(-1-i)+2=0成立，故D正确。故选：ABD10.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}下列结论正确的是(    )1πA.ω=2,频率为，初相为π6πB.函数f(x)的图象关于直线x=-对称6π13πC.函数f(x)在[,]上的值域为[0,2]12242D.若把f(x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不3ππ变，再向左平移个单位，则所得函数是y=2sin3x+1212【答案】BCD313ππ3π112πππ【详解】由图象可得A=2,T=-=，∴T=π，频率是=，ω==2，∵f()=2，∴f()=41234Tππ332π2π2πππ2sin+φ=2，即sin+φ=1，∴+φ=2kπ+(k∈Z)，∴φ=2kπ-(k∈Z)，∵|φ|<π，∴φ=33326π-，6ππ∴f(x)=2sin2x-，初相是-,故A错误；66πππf(-)=2sin--=-2,故B正确；636π13ππ11πππ13π因为x∈[,],所以2x-∈0,∴f(x)=2sin2x-在[,]上的值域为[0,2]，故C正确；1224612612242ππ把f(x)的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为y=2sin3x-，又向左平移个单位，得到3612πππ的函数为y=2sin3x+-=2sin(3x+)，故D正确；12612故选：BCD11.在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M满足AM=xAB+yAD+zAA1,(x,y,z∈R且x≥0,y≥0,z≥0)，下列说法正确的是(    )1A.当x=,z=0,y∈[0,1]时，BM+MD的最小值为1341110B.当x=y=1,z=时，异面直线BM与CD所成角的余弦值为2152542πC.当x+y+z=1，且AM=时，则M的轨迹长度为336D.当x+y=1,z=0时，AM与平面ABD所成角的正弦值的最大值为113【答案】AD11【详解】对于A，在AB上取点H，使AH=AB，在DC上取点K，使DK=DC，因为AM=441xAB+yAD，x=，y∈0,1，所以M点在线段HK上，将平面BHKC与平面AHKD沿着411HK展开到同一平面内，如图1所述，连接B1D，交于HK于点P，此时B1,P,D三点共线，B1P+2255122PD取得最小值，由勾股定理得BH=2+3=，则AB=+=3，BD=2+31221221=13，所以A正确。1对于B，因为x=y=1,z=，所以M为CC的中点，连接BM，取CD中点N，连接MN,BN,2111所以∠BMN为异面直线BM与CD1所成角(或其补角)，易得MN=2,BM=5,BN=3,所以由余弦定理得：(5)2+(2)2-3210cos∠BMN==-,所以异面直线BM与CD所成角的余弦25⋅210110值为，所以B错误。10对于C，当x+y+z=1时，可得点M的轨迹在△A1BD内(包括边界)．易知AC1⊥4平面A1BD，设AC1与平面A1BD相交于点P．由于V=V=，则点AA-A1BDA1-ABD3{#{QQABDYCEggAAAAAAAAhCAw0oCkOQkAEAACoGgFAIMAABCQFABAA=}#}43232522到平面ABD的距离为AP==．若AM=，则MP=，即点M的轨迹是以P13331×3×(22)23422622为圆心，为半径的圆，如图所示，法一：圆心P到△AEP三边距离为<,故M的轨迹是以P为圆31332242π26心，为半径的圆的一部分，轨迹长度比小于圆周长,故C错误．法二：在△AEP中，AP=，PE3311322π28263822=,∠EAP=，设AE=x>0，由余弦定理得x+-2x⋅⋅=，解得AE==PE，则3161332913ππ2222π∠APE=∠EAP=，所以M的轨迹长度为×6×=，故C错误．116633对于D，因为B1D1⎳BD，BD⎳平面AB1D1，因为M∈BD，点M到平面AB1D1的距离等于点B到平面AB1D1的1114距离，设点B到平面AB1D1的距离d，则V=V，V=S⋅A1D1=××2×2×2=易B-AB1D1D1-ABB1D1-ABB13△ABB132332知△AB1D1是边长为22的等边三角形，则S=×22=23，△AB1D1411423由V=S⋅d=×23d=，解得d=，因为AM=xAB+yAD,x+y=1，所以M在线段B-AB1D13△AB1D1333BD上运动，则当点M为线段BD的中点时，AM取最小值2，设直线AM与平面AB1D1所成角为θ，则sinθ=2323d336=≤=，D对.AMAM23故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量a=1,m,b=3,-1.若2a-b⎳a+2b，则实数m的值为.1【答案】-3【详解】因为a=1,m,b=3,-1，所以2a-b=-1,2m+1,a+2b=7,m-2.又2a-b⎳a+2b，所以11-m-2-72m+1=0，解得m=-.故答案为：-.33151213.已知ax+2x-(a为常数)的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中x的系数为(用数xx字作答)【答案】15515k5-k1kk5-2k【详解】令x=1，则a+1=32，即a=1，则对x+，有T=Cx=Cx，令5-2k=1，即k=2，xk+15x52213312有T=C⋅x=10x，即有T×2x=20x，令5-2k=3,即k=1，有T=C⋅x=5x，即有T×-=-5x,故展353252x开式中x2的系数为1514.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项012*是2，2，2，依此类推，若该数列的前n项和为Sn,若log2(Sn)∈Z,n∈N,则称(n,log2(Sn))为“好数对”，如01log2(S1)=log22=0，log2(S2)=log22=1,则(1,0),(2,1)都是“好数对”，当n≥66时，第一次出现的“好数对”是.【答案】(95,14)【详解】若log2(Sn)∈Z,则Sn为2的整数幂，将数列排成如下的形式11，21